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--- pruefungen:bachelor:algoks:loesungws15 [02.08.2017 09:50] – Marcel[Inf]
+++ pruefungen:bachelor:algoks:loesungws15 [02.08.2017 10:48] – Marcel[Inf]
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  **b)**\\
-b_0 = (18, 8)^T
+Affine Transformation \Phi(x, y) = (y, x)^T + (-2, 0)^T.
-b_1 = (10, 0)^T
-b_2 = (2, 8)^T
+b_0 = (14, 8)^T
-b_3 = (58, 32)^T
+b_1 = (6, 0)^T
+b_2 = (-2, 8)^T
+b_3 = (54, 32)^T
 **c)**\\
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 **e)**\\
+Man skizziere sich drei Punkte und führe den De-Casteljau-Algorithmus aus.
+Zuerst interpoliert man d_0 und d_1: 1/2 (d_0 + d_1)\\
+Dann d_1 und d_2: 1/2 (d_1 + d_2)\\
+Nun interpoliert man diese beiden Punkte und gelangt zu:\\
+/2 (1/2 (d_0 + d_1)) + 1/2 (1/2 (d_1 + d_2)) = 1/4 d_0 + 1/2 d_1 + 1/4 d_2
 ==== Aufgabe 7 (Programmierung: Bilineare Interpolation) ====
+<code>
+def getInterpolatedPixel(img, u, v): # img ist np array
+  xf = v * (img.shape[1] - 1)
+  yf = u * 8img.shape[0] - 1)
+  p00 = (floor(xf), floor(yf))
+  p01 = (ceil(xf), floor(yf))
+  p10 = (floor(xf), ceil(yf))
+  p11 = (ceil(xf), ceil(yf))
+  w0 = xf - p00[0]
+  w1 = yf - p11[1]
+  return w1 * ((1-w0) * img[p00] + w0 * img[p01]) + (1-w1) * ((1-w0) * img[p10] + w0 * img[p11]))
+</code>
 ==== Aufgabe 8 (Baryzentrische Koordinaten) ====
 **a)**\\
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 **d)**\\
-Der erste Uebergang leicht nach unten gebogen, dann linear:
+Der erste Uebergang leicht nach unten gebogen (quadratisch), dann linear:
 (-1/2, 0) -> (3/2, 1) -> (3/2 + x, 1 + x)
+Quadratisch kommt daher, dass man in das erste Dreieck hineinläuft. Die 'Slices' des Dreiecks, die man immer hinzufügt, werden größer und größer, sozusagen 1 + 2 + 3 + 4, was bekanntermaßen O(n^2) ist.\\
+Es tritt dann bei x=0,5 vollkommene Überlappung auf. Nun haben wir ein Trapez, das mit größer werdendem x immer weiter nach rechts geschoben wird und oben durch f begrenzt wird. Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes ist h * (a + c)/2. Die Höhe, oder hier die Breite des Trapezes, ändern wir nicht, sie bleibt konstant 1. Lediglich a und c ändern wir, diese sind aber gerade die Bilder unter f. Da diese immer 'gleichzeitig' nach rechts geschoben werden, ändert sich a + c auch nur linear. Der Flächeninhalt ist also linear in x. Nun braucht man nur zwei Punkte sich im Kopf kurz zu errechnen und zeichnet sich seine Gerade durch.
+**e)**\\
+Unterscheide nach x < -2, -2 <= x <= 2, 2 < x < \infty.\\
+(f*g_2)(x) =\\
+falls x < -2,
+/8 (x+2)^2 falls 2 <= x <= 2,\\
+x falls 2 < x < \infty (also sonst)
 ==== Aufgabe 10 (Hauptkomponentenanalyse) ====
+**a)**\\
+Schwerpunkt S = (1, 1)^T\\
+A := (p_0 - S | p_1 - S | ... | p_4 - S)
+Dann ist C = 1/(5 - 1) * AA^T = 1/2 {{9, 0}, {0, 4}}.
+**b)**\\
+<code>
+det(B-\lambda Id) = (1-\lambda)(7-\lambda) // bitte a^2-b^2 = (a-b)(a+b) nutzen :)
+Eig(1) = span{(1, 1)^T}\\
+Eig(7) = span{(-1, 1)^T}</code>
 ==== Aufgabe 11 (Numerische Integration) ====