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pruefungen:bachelor:algoks:loesungws15 [22.07.2017 14:50] – Marcel[Inf]pruefungen:bachelor:algoks:loesungws15 [02.08.2017 09:56] – Marcel[Inf]
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 l_1 = [(x+1)(x-2)/(1+1)(1-2)] = -1/2 * (x^2 -x -2)\\ l_1 = [(x+1)(x-2)/(1+1)(1-2)] = -1/2 * (x^2 -x -2)\\
 l_2 = [(x+1)(x-1)/(2+1)(2-1)] = 1/3 * (x^2 - 1) l_2 = [(x+1)(x-1)/(2+1)(2-1)] = 1/3 * (x^2 - 1)
 +
 +Ich glaube nicht, dass das Ausmultiplizieren gefordert war. Dies wird in neueren Klausuren auch explizit angemerkt.
  
 **d)**\\ **d)**\\
-p(x) = -l_0 + 2*l_1 + 4*l_2 = -1/6 * (x^2 -3x +2) -(x^2 -x -2) + 4/3 * (x^2 - 1)+-1, 2 und 4 (das sind genau die y_i)
  
 **e)**\\ **e)**\\
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  **b)**\\  **b)**\\
-b_0 = (18, 8)^T +Affine Transformation \Phi(x, y) = (y, x)^T + (-2, 0)^T. 
-b_1 = (10, 0)^T + 
-b_2 = (2, 8)^T +b_0 = (14, 8)^T 
-b_3 = (58, 32)^T+b_1 = (6, 0)^T 
 +b_2 = (-2, 8)^T 
 +b_3 = (54, 32)^T
  
 **c)**\\ **c)**\\
Zeile 134: Zeile 138:
 **e)**\\ **e)**\\
  
 +Man skizziere sich drei Punkte und führe den De-Casteljau-Algorithmus aus.
 +Zuerst interpoliert man d_0 und d_1: 1/2 (d_0 + d_1)\\
 +Dann d_1 und d_2: 1/2 (d_1 + d_2)\\
 +Nun interpoliert man diese beiden Punkte und gelangt zu:\\
 +1/2 (1/2 (d_0 + d_1)) + 1/2 (1/2 (d_1 + d_2)) = 1/4 d_0 + 1/2 d_1 + 1/4 d_2
  
 ==== Aufgabe 7 (Programmierung: Bilineare Interpolation) ==== ==== Aufgabe 7 (Programmierung: Bilineare Interpolation) ====
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 **d)**\\ **d)**\\
-  * rho < 0, sigma > 0, tau > 0 +  * rho < 0, sigma > 0, tau > 0, rho + sigma + tau = 1 
-  * rho > 1, sigma < 0, tau < 0+  * rho > 1, sigma < 0, tau < 0, rho + sigma + tau = 1. (rho > 1 ist redundant, da dies aus rho = 1 - sigma - tau > 1 folgt.)
  
 ==== Aufgabe 9 (Faltung) ==== ==== Aufgabe 9 (Faltung) ====
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 **c)**\\ **c)**\\
-Wegen d_a(x) = d(x-a) gilt Integral( f(x) * d_a(x-a) dx) = f(a)+(f * d_a)(x) = \int f(y) d_a(x-y) dy = f(x-a), denn x - y = a <=> y = x - a, und an dieser Stelle wird f 'evaluiert'. Steht auch so in den Folien.
  
 **d)**\\ **d)**\\
Zeile 180: Zeile 189:
 **b)**\\ **b)**\\
 1/8 * ( 0+1 + 1+8 + 8+27 + 27+64) = 136/8 = 17 1/8 * ( 0+1 + 1+8 + 8+27 + 27+64) = 136/8 = 17
 +
 +**c)**\\
 +<code>
 +T_f(1/2) = 20    \
 +                  v
 +T_f(1/4) = 17  ---> T_f^1 (1/4) = (4T_f(1/4) - T_f(1/2))/3 = 16 (was übrigens der exakte Wert des Integrals ist)
 +</code>
 +
 +**d)**\\
 +<code>(1 - 0) * (1/6 * f(0) + 4/6 * f((0 + 1)/2) + 1/6 * f(1)) = 16</code>
 +
 +Hier muss der exakte Wert rauskommen, denn die Simpson-Regel angwandt auf ein kubisches Polynom ist immer exakt (folgt aus der einen Fehlerabschätzung, welche max{|f^(4)(x)|} erwähnt, was ja 0 bei kubischen Polynomen ist!).
 +
 +**e)**\\
 +O(h^2)
 +
 +**f)**\\
 +O(h^4)