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pruefungen:bachelor:algoks:loesungss15 [20.07.2016 03:28] – MedianCut verbessert tomabrafix | pruefungen:bachelor:algoks:loesungss15 [27.07.2017 15:25] – Marcel[Inf] | ||
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| 1 -1 -1 1 | | 0 0 0 1 | | | 1 -1 -1 1 | | 0 0 0 1 | | ||
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- | ==== Aufgabe 3 (Singulaerwertzerlegung) ==== | + | ==== Aufgabe 3 (Singulärwertzerlegung) ==== |
**a)** | **a)** | ||
* V^T: Drehung von x | * V^T: Drehung von x | ||
* Sigma: Streckung / Stauchung von y | * Sigma: Streckung / Stauchung von y | ||
* U: Drehung von z | * U: Drehung von z | ||
- | **b)**\\ \\ | + | |
+ | **b)** | ||
+ | Die Singulärwerte sind die Quadratwurzeln der Eigenwerte von A^T*A bzw. A*A^T | ||
**c)** | **c)** | ||
/A/_2 * /A^-1/_2 = 8 * 1 = 8 \\ | /A/_2 * /A^-1/_2 = 8 * 1 = 8 \\ | ||
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**d)** | **d)** | ||
* im(A) = 1/5 * [(3, 0, 4, 0)^T, (0, -3, 0, -4)^T, (-4, 0, -3, 0)^T, (0, -4, 0, -3)^T] | * im(A) = 1/5 * [(3, 0, 4, 0)^T, (0, -3, 0, -4)^T, (-4, 0, -3, 0)^T, (0, -4, 0, -3)^T] | ||
- | * ker(A) = (-2, -4, -2, 1)^T | + | * ker(A) = {} |
**e)** | **e)** | ||
- | | 12 -6 -3 -6 | | + | | 3 | |
- | | + | | 0 | |
- | 8 * 1/5 * (3, 0, 4, 0)^T * 1/5 *(4, -2, -1, -2) = 8/25 * | 16 -8 -4 -8 | | + | 8 * 1/5 * | 4 | * 1/5 * (4, -2, -1, -2) = 8/25 * | 16 -8 -4 -8 | |
- | | + | | 0 | |
==== Aufgabe 4 (Programmierung: | ==== Aufgabe 4 (Programmierung: | ||
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| | ||
| | ||
- | * Gauss-Seidel | + | * SOR benoetigt Wurzel-n-mal so viele Iterationen wie Jacobi |
13 | 18 | 23 | 13 | 18 | 23 | ||
Zeile 185: | Zeile 188: | ||
grad(3, 1) = (0, -1)^T | grad(3, 1) = (0, -1)^T | ||
- | x_1 = x_0 - t*grad(3, 1) = (3, 5/4)^T | + | x_1 = x_0 + t*(-grad(3, 1)) = (3, 5/ |
**c)** Newton-Verfahren: | **c)** Newton-Verfahren: | ||
Zeile 206: | Zeile 209: | ||
**b)**\\ | **b)**\\ | ||
- | | + | |
- | x = | -4 | | + | x = | -2 | |
- | | -4 | | + | | -2 | |
==== Aufgabe 8 (Programmierung: | ==== Aufgabe 8 (Programmierung: | ||
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**10.1 a)**\\ | **10.1 a)**\\ | ||
- | | + | Reihenfolge: |
- | * (rho = 0 and sigma > 1 and tau > 1) or (rho > 1 and sigma = 0 and tau > 1) or (rho > 1 and sigma > 1 and tau = 0) | + | |
+ | * [(rho = 0 and 0 ≤ | ||
* rho = sigma | * rho = sigma | ||
* not (rho > 0 and sigma > 0 and tau > 0) | * not (rho > 0 and sigma > 0 and tau > 0) | ||
+ | |||
+ | Beim zweiten hätte man auch jeweils eine der ≤ 1 Bedingungen weglassen können, denn diese folgen sowieso durch die Bedingung (rho + sigma + tau = 1). | ||
**10.1 b)**\\ | **10.1 b)**\\ |