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Forendiskussionen, bei Fragen bitte:

Lösungsversuch WS 18/19

Aufgabe 1 (Wissensfragen)

a)

  1. Richtig, es werden nur die drei Variablen xMax, xSuf sowie i zusätzlich angelegt.
  2. Falsch, sie liegt in x.length.
  3. Falsch, es werden zusätzlich die Arrays r und rn angelegt, die in jeder Schleiteniteration ungefähr doppelt so groß gewählt ist
  4. Richtig. Das sich aber zu überlegen, ist aber nicht ganz so einfach. Der Graycode erstellt eine Sortierung aller Binärwörter der Länge n (also insgesamt 2^n Wörter), sodass die Hamming-Distanz zweier aufeinanderfolgender Wörter genau 1 ist. Der eigentliche Algorithmus beginnt dabei beim Trivialfall n = 1. Alle anderen Fälle n werden aufgebaut, indem der Fall n - 1 verwendet wird. Die Laufzeit ist also ungefähr 2^1 + 2^2 + … 2^n = 2^(n + 1) - 1. Nicht berücksichtigt in dieser Überlegung ist u. a., dass das Feld rn in jedem Schritt um eine weitere Reihe x ergänzt wird. Ansonsten kann man auch durch die Betrachtung des Quellcodes auf ähnliche Ergebnisse kommen.

Anmerkung zum O-Kalkül: Grundsätzlich beschreibt das O-Kalkül immer eine obere Schranke, wenn z. B. eine Funktion f(n) in O(n) liegt, liegt sie auch in O(n^2), aber nicht unbedingt in O(1) (vgl. dazu auch Lösungsvorschlag der Miniklausur dieses Semesters).

b)

  1. Falsch, CatRoom ist Unterklasse von CatBase
  2. Richtig.
  3. Falsch, es ist nur ein einfaches Feld. Bei der Notation muss man allgemein wissen, dass Felder immer an der gegenüberliegenden Seite der Beziehung notiert werden.
  4. Richtig, zu jedem CatRoom gibt es maximal ein CatHouse, also wird jeder CatRoom von höchsten einem CatHouse referenziert (in KonzMod-Logik würde also insbesondere die funktionale Abhängigkeit CatRoomCatHouse gelten).

c)

  1. Richtig. Das ist ein bisschen gemein, da in der Aufgabenstellung einfach die Variabeln n und c vertauscht wurden. Trotzdem ist die Aussage korrekt ist, auch wenn die eigentliche Intention dieser Variablen nicht mehr erfüllt ist.
  2. Richtig, das Omega-Kalkül beschreibt alle Funktionen, die mindestens so schnell wachsen wie eine gegebene Funktion.
  3. Falsch, n liegt in O(n^2), n^2 aber nicht in O(n).
  4. Falsch, liege f(n) = n^2 in O(n), und g(n) = n in O(n^2), dann liegt f(n) - g(n) = n^2 - n nicht in O(n).

d)

  1. Richtig, man kann von jedem Knoten aus jeden anderen erreichen.
  2. Falsch, der Graph enthält Zyklen, z.B. v0>v1>v3>v0
  3. Falsch, die Tiefensuche müsste nach dem Besuchen von Knoten v1 den Knoten v3 besuchen.
  4. Richtig, man muss hier halt wissen, wie die Adjazenzfelddarstellung aussieht.

e)

  1. Richtig, genau das tut der Algorithmus von Floyd.
  2. Falsch, ein Spannbaum für einen Graphen mit n Knoten hat immer genau n - 1 Kanten.
  3. Richtig, der Algorithmus von Krukal beginnt mit einem „leeren“ Spannbaum und fügt in jedem Schritt eine Kante hinzu.
  4. Falsch, die Laufzeit liegt in O(|V| log|V|).

f)

  1. Falsch, der finally-Block wird immer ausgeführt.
  2. Richtig.
  3. Richtig. Wenn a und b erfüllt ist, wird der Code X ausgeführt, ist a wahr und b falsch, wird der Code Y ausgeführt, ansonsten, also wenn a nicht erfüllt ist, muss die Bedingung Q ohne Änderung erfüllt sein.
  4. Falsch. wp(„A“, Q) bezeichnet die schwächste Vor-Bedingung, die gelten muss, damit nach der Ausführung von „A“ Q erfüllt ist. Eine Bedingung P müsste mindestens so stark wie wp(„A“, Q) sein, d. h. man müsste P ⇒ wp(„A“, Q) zeigen.

Aufgabe 2 (Dynamische Programmierung)

a)

private int recurse(int[][] a, int row, int col) {
    int n = a.length;
    int best = 0;
    assert row >= 0 && row < n && col >= 0 && col < n;
    for (int r = row - 1; r <= row + 1; r++) {
        // Betrachte, ob das angeforderte Feld überhaupt im Quadrat liegt
        if (col < n - 1 && r >= 0 && r < n) {
            // Die erreichte Summe wird genau dann maximal, wenn man
            // den Weg wählt, bei dem man von diesem Nachbarfeld die
            // maximale Summe erhält -> Eigentliche Rekursion
            best = Math.max(best, recurse(a, r, col + 1));
        }
    }
 
    // Der Wert des aktuellen Feldes muss noch dazu addiert werden
    best += a[row][col];
    return best;
}

b)

public int maxPathDP(int[][] a) {
    int n = a.length;
    int best = 0;
 
    // Feld initialisieren und letzte Spalte befüllen
    int[][] mem = new int[n][n];
    for(int row = 0; row < n; row++) {
        mem[row][n-1] = a[row][n-1];			
    }
 
    int b = 0;
    // von der vorletzten Spalte bis zur vordersten
    for(int col = n-2; col >= 0; col--) {
        // Suche den größten Nachbarn in der rechten Spalte in einer Reihe
        // darüber, darunter oder gleicher Reihe und speichere dessen Wert in b
	for(int row = 0; row < n; row++) {
	    if (row == 0) {
                b = Math.max(mem[row][col+1], mem[row+1][col+1]);
            } else if(row == n-1) {
                b = Math.max(mem[row][col+1], mem[row-1][col+1]);
            } else {
                b = 0;		
                for(int r = row-1; r <= row+1; r++) {
                    b = Math.max(mem[r][col+1], b);
                }
	    }
 
            // Der neue Wert in mem ist der alte in a plus b
            mem[row][col] = a[row][col] + b;
            }
        }
    }
 
    //Suche das Maximum in der ersten Spalte
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        if(mem[i][0] > best) {
            best = mem[i][0];
        }
    }
 
    return best;
}

Aufgabe 3 (Streuspeicherung)

a)

Fach k (verkettete Liste, zuletzt eingetragener Schlüssel rechts)
0 E ⇒ U
1
2 ? ⇒
3
4 Y ⇒ ! ⇒ A
5 B ⇒
6
7 D ⇒

b)

k sondierte Fächer und Art der Kollision
B 5
Y 4
E 0
! 4 (P)⇒ 5 (P)⇒ 6
A 4 (P)⇒ 5 (P)⇒ 6 (S)⇒ 7
U 0 (P)⇒ 1
D 7 (S)⇒ 0 (P)⇒ 1 (S)⇒ 2
? 2 (S)⇒ 3

c)

Fach k Streufunktion (i)
0 E 0
1 A 1
2 U 1
3 ! 1
4 Y 0
5 B 0
6 ? 2
7 D 0

Aufgabe 4 (Artikulationspunkte)

a)

private long helperNums(T v, long num) { 
    // Füge Preorder-Knoten hinzu
    nums.put(v, num);
 
    // Nächster Knoten bekommt eine um eins höhere Nummerierung
    num++;
 
    // Schaue, ob in sptree schon eine Adjazenzliste angelegt wurde
    // (eigentlich ist das ein Set, das ist aber nicht relevent)
    if (!sptree.containsKey(v)){
     sptree.put(v, new HashSet<>());
    }
    // Betrachte alle Nachbarn im Graphen
    for (T w : graph.get(v)) {
        // Überprüfe, ob Nachbar schon besucht wurde
        if (!nums.containsKey(w) {
            sptree.get(v).add(w); // Füge Knoten zum Spannbaum hinzu
            num = helperNums(w, num); // Führe rekursiv die dfs-Nummerierung aus 
        }
    }
 
    return num;
}

b)

private long helperLows(T v) {
    long low = nums.get(v); // num-Wert des Knoten selbst
 
    for (T w : sptree.get(v)) {
        long wLow = helperLows(w); // low-Wert der Nachbarknoten
        if (wLow >= nums.get(v)) {
            // Fall, in dem Knoten zu der Menge der Artikulationspunkte hinzugefügt werden muss
            aps.add(v);
        }
        low = Math.min(low, wLow);        
    }
 
    for (T w : graph.get(v)) {
        low = Math.min(low, nums.get(w)); // num-Werte der Nachbarknoten
    }
 
    return low;
}

Aufgabe 5 (Abstrakte Datentypen)

a)

push4(ts, x, y) = Push(Push(Push(Push(ts, x+1, y), x, y+1), x-1, y), x, y-1)//

b)

paintHLine(c, x, y, n, nc) = 
 
... = c, falls n < = 0
 
... = paintHLine(Paint(c, x, y, nc), x + 1, y, n - 1, nc), sonst

c)

getCol(New, x, y) = White
 
getCol(Paint(c, a, b, col), x, y) = ...
 
... = col, falls x = a und y = b
 
... = getCol(c, x, y), sonst

d)

floodH(c,Empty,oc,nc) = c 
 
floodH(c, Push(ts, x, y), oc, nc) = ...
 
... = floodH(Paint(c, x, y, nc), push4(ts, x, y), oc, nc), falls getCol(c, x, y) = oc
 
... = floodH(c, ts, oc, nc), sonst 

Aufgabe 6 (Radix-Exchange-Sortierung)

public void sort(List<String> in) {
    sort(in, 0, new BucketPool(45));
}
 
private void sort(List<String> in, int charPos, BucketPool bp) {
    List<List<String>> bs;
    if (charPos < 5) {
        bs = bp.getBuckets(9);
        Iterator<String> it = in.iterator();
        while (it.hasNext()) {
            String nextString = it.next();
            char c = nextString.charAt(charPos);
 
            // Nur Elemente, die an dieser Stelle einen Char != 0 haben,
            // in andere Liste schieben
            if (c != '0') {
                bs.get(Character.getNumericValue(c)).add(nextString);
                it.remove();
            }         
        }
 
        // In in sind im Moment nur noch Strings,
        // die an dieser Stelle 0 sind => Lässt sich wie der Rest sortieren
        sort(in, charPos + 1, bp);
 
        // Für alle anderen Strings wurden die eigenen Buckets angelegt
        for (List<String> bucket : bs) {
            sort(bucket, charPos + 1, bp);
 
            /* Zum Verständnis:
             * Dadurch, dass die Strings in erster Priorität nach dem Char
             * an Position c sortiert sind, wird die Liste korrekt sortiert:
             * -> Durch sort wird eine Teilliste korrekt sortiert
             * -> Die sortierten Teillisten werden nach dem ersten Character
             *    zusammen gebaut -> korrekte Sortierung
             */
 
            in.addAll(bucket);
        }
 
        // Hier muss man die Buckets wieder aus dem Pool entfernen
        bp.dropBuckets(bs);
    }
}

Anmerkung zu der Stelle move strings with '1' - '9' from in to bs: Hier scheint es prinzipiell zwei andere Möglichkeiten zu geben:

  • Arbeit mit for (String nextString : in): Nicht wirklich zu empfehlen, da man beim Iterieren durch die Liste Elemente aus dieser entfernen muss. Das kann zu Fehlern beim Iterieren führen. Außerdem ist nicht zwingend vorgeschrieben, dass die Liste keine Duplikate enthält. Bei in.remove(nextString) würde man diese entfernen.
  • Man iteriert mit einem Index i über die Liste. Hier muss man beim Entfernen eines Elementes aus der Liste entsprechend i um eins dekrementieren (um eins verkleinern), damit keine Elemente ausgelassen werden. Diese Lösung funktioniert, ist aber etwas schwieriger zu implementieren. Auch möglich ist es, mit i = in.size() - 1 zu beginnen und abwärts zu zählen. Falls ein Element entfernt wird, wird i in einem Schritt zusätzlich um 1 verkleinert. Wenn i < 0 ist, wird abgebrochen.