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Forendiskussionen

Lösungsversuch

Aufgabe 1 - Komplexität

a) O(n)

b) O(n²)

c) O(n)

d) O(n)

e) O(n²)

f) O(n²)

g) O(n³)

h) O(n²)

Aufgabe 2 - Interpolation

a)

l(x) =	{ 0            für 0 <= x < 1
        { 12x - 12     für 1 <= x < 2
        { 60x - 108    für 2 <= x < 3

b)

Koeffizienten
c0 = 0, c1 = 0, c2 = 6, c3 = 6

Polynom:
a(x) = 6x³ - 12x² + 6x

c)

|1  0  0  0 |
|1  1  0  0 |
|1  2  2  0 |
|1  3  6  6 |

d)

Die Systemmatrix A ist eine untere Dreiecksmatrix und lässt sich einfach durch Vorwärtseinsetzen lösen.

Aufgabe 3 - LU-Zerlegung

a)

    |1 0 0 0|
L = |2 1 0 0|
    |0 3 1 0|
    |0 0 2 1|
	
    |2 1 4 1|
U = |0 1 1 1|
    |0 0 2 1|
    |0 0 0 3|

b)

x = (-3, 1, 4)^T

Aufgabe 4 - Eigenschaften von Bézier-Kurven

a)

  • Affine Invarianz
  • Bézier-Kurven liegt in der konvexen Hülle
  • Variationsreduzierend
  • In den Endpunkten tangential an das Kontroll-Polygon

b)

c)

Aufgabe 5 - Baryzentrische Koordinaten

a)

Fläche im spitzen Winkel bei T

b)

Halbgerade RS links von R (exklusiv)

c)

Punkt T

d)

P0: Auf 2/3 der Strecke von R nach S
P1: Relativ mittig im Dreieck, leicht in Richtung T bzw. der Strecke TS versetzt
P2: Existiert nicht (Summe ergibt 0 statt 1)

e)

ρ = -2
σ = 1
τ = 2

Aufgabe 6 - Singulärwertzerlegung

a)

Singulärwerte: 3/2, 3/4, 1/2
Rang: r = 3
Bild: span{(-1/3 -2/3 -2/3)^T, (-2/3 2/3 -1/3)^T, (-2/3 -1/3 2/3)^T}
Kern: span{(1/2 -1/2 -1/2 1/2)^T}
Konditionszahl: 6/4 * 4/2 = 3

b)

(-14 -4 4 14)^T

c)

        |1  1  1  1|
-1/4 x  |2  2  2  2|
        |2  2  2  2|

Aufgabe 7 - Programmierung

a)

BezierCurve::BezierCurve(const Point* CPs, int numCPs) {
	this-numCPs = numCPs;
	this->CPs = new Point[numCPs];
 
	for(int i = 0; i < numCPs; i++) {
		this->CPs[i] = CPs[i];
	}
}
 
BezierCurve::~BezierCurve() {
	delete[] CPs;
}

b)

void BezierCurve::removeControlPoint(int idx) {
	Points* newCPs = new Point[numCPs - 1];
 
	for(int i = 0; i < numCPs; i++) {
		if(i < idx)
			newCPs[i] = CPs[i];
 
		if(i > idx) {
			newCP[i - 1] = CPs[i];
	}
 
	delete[] CPs;
	CPs = newCPs;
 
	this-numCPs = numCPs - 1;
}

c)

Point BezierCurve::desCastlejau(float t) const {
	Point tmpCPs[numCPs];
 
	for(int i = 0; i < numCPs; i++)
		tmpCPs[i] = CPs[i];
 
	for(int c = 1; c < numCPs; c++) {
		for(int r = 0; r < numCPs, numCPs - c; r++) {
			tmpCPs[r] = (1-t) * tmpCPs[r] + t * tmpCPs[r + 1];
		}
	}
 
	return tmpCPs[0];
}

d)

void BezierCurve::degreeElevation() {
	Point* newCPs = new Point[numCPs + 1];
	newArr[0] = CPs[0];
	newArr[numCPs] = CPs[numCPs - 1];
 
	for(int i = 1; i < numCPs; i++) {
		float t = i / (numCPs + 1);
		float z = (numCPs + 1 - i) / (numCPs + 1);
		newArr[i] = t * CPs[i - 1] + z * CPs[i];
	}
 
	delete[] CPs;
	CPs = newArr;
	numCPs++;
}

e)

void BezierCurve::reflectCurve(const Point& p) {
	for(int i = 0; i < numCPs; i++)
		CPs[i] = 2 * p - CPs[i];
}

c)

Aufgabe 8 - Numerische Integration

a) 20

b) 17

c) 16

d) 16

e) 16

f) O(h²)

g) O(h^4)

Aufgabe 9 - Matrix-Norm und Kondition

a)

Das Problem ist für Funktion g(x) besser konditioniert, da die Tangente bei x = 1 eine geringere Steigung aufweist:
K(f) = π
K(g) = 1/π
g hat die kleinere Konditionszahl.

b)

7, 5, 19, 24, 6, 6

c)

mit 1-Norm:
K(A_1) = 49/25
K(A_3) = 24

d)

Die Geraden von SP_1 stehen fast senkrecht aufeinander.
Die Geraden von SP_2 verlaufen relativ parallel.
Damit ist SP_1 besser konditioniert.

Aufgabe 10 - Nullstellensuche

a)

b)

x_2 = 1/2
x_3 = -7

c)

(-4, 3)^T