diff --git a/wwwcip-m3/MathC3_VL10.tex b/wwwcip-m3/MathC3_VL10.tex index e39475d..022218f 100644 --- a/wwwcip-m3/MathC3_VL10.tex +++ b/wwwcip-m3/MathC3_VL10.tex @@ -32,7 +32,7 @@ Dazu der erste Schritt: Umwandeln eines linearen Programms von \textbf{allgemein \[ f(x) = \langle c,x \rangle \text{ \textbf{minimieren} in } \mathbb{R}^n \] \[ \begin{array}{lcl} \text{unter den Nebenbedingungen} & Ax = b & \} m \text{ Gleichungen}\\ -& x \leq 0 & \} n \text{ Unleichungen} +& x \geq 0 & \} n \text{ Unleichungen} \end{array}\] \subsubsection{Umwandlung von allgemeiner in Standardform} \begin{enumerate} @@ -103,7 +103,7 @@ der $(\mathbb{R}_0^+)^n$ nicht schneidet.} \item Wenn $n$ groß ist, gibt es ggf. sehr viele Eckpunkte, die man nicht alle durchprobieren möchte/kann. \end{enumerate} \underline{Dann:} Iterative Vorgehensweise:\\ -Ausgehend von einer Ecke $x_k$, suche eine ``bessere'' Ecke $x_{k+1}$ mit $f(x_{k+1}) < f(x_{k+2})$. Strategie?\\ +Ausgehend von einer Ecke $x_k$, suche eine ``bessere'' Ecke $x_{k+1}$ mit $f(x_{k+1}) < f(x_k)$. Strategie?\\ Zunächst zur Frage \ref{enum:vl10-2}:\\ \\ \underline{Wie findet man die Ecken?}\\ Im Beispiel $n = 3, m = 1$ haben alle $3$ Ecken die Eigenschaft, dass dort $2$ der $3$ Komponenten $(x_i)$ Null sind, sowie, dass die @@ -143,4 +143,4 @@ Oder z.B. $\{ 1,2,3\}$ Deswegen ist $\{ 2,4,5 \}$ keine Basis.\\ $A_B \in \mathbb{R}^{m \times m}$, aus $m$ linear unabhängigen Spalten bestehend, hat Rang$(A_B)=m$, ist also invertierbar. Man kann also die Nebenbedingungen auflösen nach $x_B$: -\[ x_B = -A_B^{-1}A_Nx_N + A_B^{-1}b \] \ No newline at end of file +\[ x_B = -A_B^{-1}A_Nx_N + A_B^{-1}b \] diff --git a/wwwcip-m3/MathC3_VL11.tex b/wwwcip-m3/MathC3_VL11.tex index d82edb2..f7b8cf5 100644 --- a/wwwcip-m3/MathC3_VL11.tex +++ b/wwwcip-m3/MathC3_VL11.tex @@ -45,7 +45,7 @@ $x_1 = 5 \geq 0 \Rightarrow x = \begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}$ ist eine \tex $x_2 = -5 < 0 \Rightarrow x = \begin{pmatrix}0\\-5\end{pmatrix}$ ist eine \textbf{unzulässige Basislösung}. \footnote{Das Optimum muss bei $\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}$ liegen, oder es existiert nicht.}\\ \\ \underline{Behauptung/Intuition:}\\ -Die menge der zulässigen Basislösungen entspricht der Menge der ``Ecken''.\\ +Die Menge der zulässigen Basislösungen entspricht der Menge der ``Ecken''.\\ \underline{Im Beispiel:} \[ A = \begin{pmatrix}1&0&1&0&0\\0&1&0&1&0\\3&2&0&0&1\end{pmatrix}, \: b = \begin{pmatrix}4\\6\\18\end{pmatrix}, \: c= \begin{pmatrix}-3\\-5\\0\\0\\0\end{pmatrix},\quad n = 5, \: m = 3 \] @@ -111,7 +111,7 @@ Die \textbf{neue Ecke} $\widetilde{x} = \begin{pmatrix}\widetilde{x}_B\\\widetil \begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\\\widetilde{x}_{N,j}\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}$, wobei $\widetilde{x}_{N,j} \geq 0$ für ein zu wählendes $j \in \{ 1, \hdots, n-m \}$\footnote{Der Wert $\widetilde{x}_{N,j}$ ist auch noch zu bestimmen.}\\ \\ \underline{Änderung des Funktionswertes} -\[ \Delta f_j := f(\widetilde{x}-f(x) = \langle c_N - (A_B^{-1}A_N)^Tc_B, \underbrace{\begin{pmatrix}0,\hdots,0,\widetilde{x}_{N,j},0, +\[ \Delta f_j := f(\widetilde{x})-f(x) = \langle c_N - (A_B^{-1}A_N)^Tc_B, \underbrace{\begin{pmatrix}0,\hdots,0,\widetilde{x}_{N,j},0, \hdots,0\end{pmatrix}}_{\widetilde{x}_N - x_N}^T \rangle \] \[ = \underbrace{\widetilde{x}_{N,j}}_{\geq 0} \underbrace{(c_N - (A_B^{-1}A_N)^Tc_B)_j}_{\stackrel{!}{<} 0} \underbrace{<}_{\text{Kriterium für Wahl von $j$}} 0 \: \widehat{=} \text{ Verbesserung} \] @@ -142,4 +142,4 @@ Damit: \quad \forall \: k = 1,\hdots,m\] $(x_B)_k\geq 0$, da $x$ als zulässig angenommen wird. Wie groß wird $\widetilde{x}_{N,j}$ maximal?\\ $\widetilde{x}_{N,j}$ soll nun möglichst groß gewählt werden ($\rightsquigarrow$ möglichst große Verbesserung im Funktionswert), sodass -diese $m$ Bedingungen noch erfüllt werden. \ No newline at end of file +diese $m$ Bedingungen noch erfüllt werden. diff --git a/wwwcip-m3/MathC3_VL5.tex b/wwwcip-m3/MathC3_VL5.tex index 3b4f648..e47e9c7 100644 --- a/wwwcip-m3/MathC3_VL5.tex +++ b/wwwcip-m3/MathC3_VL5.tex @@ -45,12 +45,12 @@ hier lokal. \\ \\ \begin{itemize} \item[(a)] $f : \mathbb{R}^3 \mapsto \mathbb{R}, f(x,y,z) = 0$, zum Beispiel $x^2+y^2+z^2-1=0$ beschreibt eine ``Fläche'' im $\mathbb{R}^3$. Frage nach lokaler Auflösungsfunktion: $x = x(y,z)$ oder $y = y(x,z)$ oder $z = z(x,y)$. -\item[(b)] $f : \mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}^2, f_1 (x,y,z) = f_2 (x,y,z) = 0$ ist (meist) der Schnitt zweier Flächen, eine Kurve +\item[(b)] $f : \mathbb{R}^3 \mapsto \mathbb{R}^2, f_1 (x,y,z) = f_2 (x,y,z) = 0$ ist (meist) der Schnitt zweier Flächen, eine Kurve im $\mathbb{R}^3$. Frage nach lokaler Auflösungsfunktion: $(x,y) = ( x(z), y(z) )$ oder $(x,z) = ( x(y), z(y) )$ oder $(y,z) = ( y(x), z(x) )$. \end{itemize} \underline{Satz:} \textbf{Satz über implizite Funktionen im Mehrdimensionalen}\\ -Sei $f : D \mapsto \mathbb{R}^m, D \subset \mathbb{R}^{n+m}$ offen, $n,m \in \mathbb{N}, f \in \mathcal{C}^1(d), (x_0,y_0) \in D$, +Sei $f : D \mapsto \mathbb{R}^m, D \subset \mathbb{R}^{n+m}$ offen, $n,m \in \mathbb{N}, f \in \mathcal{C}^1(D), (x_0,y_0) \in D$, wobei $x_0 \in \mathbb{R}^n, y_0 \in \mathbb{R}^m$, mit $f(x_0,y_0) = 0$. \\ \\ Falls die $m \times n$-Matrix $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$ invertierbar ist, dann existiert eine Umgebung $U = K_{\varepsilon}(x_0) \subset \mathbb{R}^n$ von $x_0 (\varepsilon > 0)$ und eine Auflösungsfunktion @@ -59,7 +59,7 @@ Die Auflösungsfunktion ist in $\mathcal{C}^1(U)$ und es gilt \[ Jy(x) = \frac{dy}{dx}(x) = - \left( \frac{\partial f}{\partial y} (x,y(x)) \right)^{-1} \frac{\partial f}{\partial x} (x,y(x)) \] \underline{Anwendung:}\\ \underline{Satz von der inversen Abbildung}\footnote{Auch: Satz über lokale Umkehrbarkeit.}\\ -Sei $D \subset \mathbb{R}^n$ offen, $f: D \mapsto \mathbb{R}^n, f \in \mathcal{C}^1(d), x_0 \in D$. \\ +Sei $D \subset \mathbb{R}^n$ offen, $f: D \mapsto \mathbb{R}^n, f \in \mathcal{C}^1(D), x_0 \in D$. \\ Die Matrix $Jf(x_0) = \frac{d}{dx} f(x_0)$ sei invertierbar. Dann gibt es eine Umgebung $U \subset D$ von $x_0$ und eine Umgebung $V = f(U)$ von $f(x_0)$, sodass $f|_U:U \mapsto V$\footnote{$f$ eingeschränkt auf $U$: Gilt nur für eingesetzte Werte aus $U$.} umkehrbar (d.h. bijektiv) ist. \\ \\ @@ -87,8 +87,8 @@ Es ist daher oft praktisch, Kurven in \textbf{Parameterform} anzugeben. \\ \\ \underline{Definition:} \textbf{Kurve} \\ Als \textbf{Parameterdarstellung einer Kurve} wird eine stetige Abbildung $\gamma : I \mapsto \mathbb{R}^n$ bezeichnet, wobei $I \subset \mathbb{R}$ ein abgeschlossenes Intervall ist. \\ -Ihr Bild $\Gamma := \gamma(I)$ heißt \textbf{Kurve}. Ist $\gamma$ stetig differenzierbar, so heißt $\gamma \mathcal{C}^1$ -\textbf{ -Kurve.} +Ihr Bild $\Gamma := \gamma(I)$ heißt \textbf{Kurve}. Ist $\gamma$ stetig differenzierbar, so heißt $\gamma$ +$\mathcal{C}^1$\textbf{-Kurve.} Falls $I = [a,b]$ und $\gamma(a) = \gamma(b)$, so heißt $\gamma$ geschlossen. \\ \\ \underline{Beispiel:} Kreis $\gamma : [0, 2\pi] \mapsto \mathbb{R}^2, \quad \gamma(t) = \left( \begin{array}{c} \cos{t}\\ @@ -105,4 +105,4 @@ Schraubenlinie $\gamma : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}^3, \gamma(t) = \left( \be r \cos{t} \\ r \sin{t} \\ ct -\end{array} \right), r, c \in \mathbb{R}$ \ No newline at end of file +\end{array} \right), r, c \in \mathbb{R}$ diff --git a/wwwcip-m3/MathC3_VL6.tex b/wwwcip-m3/MathC3_VL6.tex index 8b559d0..1994925 100644 --- a/wwwcip-m3/MathC3_VL6.tex +++ b/wwwcip-m3/MathC3_VL6.tex @@ -40,15 +40,15 @@ Zum Beispiel sind $\gamma(t) = \left(\begin{array}{c} \cos{5t} \\ \sin{5t} \end{array}\right), t \in [0, \frac{2}{5}\pi]$ und $\gamma(t) = \left(\begin{array}{c} -\cos{t^2} \\ +\cos{t^2} \; \sin{t^2} \end{array}\right), t \in [0, \sqrt{2\pi}]$ ebenfalls Parametrisierungen des Kreises.\footnote{In obiger Analogie: Der selbe Kreis mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten befahren.} \\ \\ \underline{Allgemein:} Ist $\gamma : I \mapsto \mathbb{R}^n$ die Parametrisierung einer Kurve $\Gamma$ und ist $u : J \mapsto I$ stetig und surjektiv, so ist auch $\gamma \circ u : J \mapsto \mathbb{R}^n$ eine Parametrisierung von $\Gamma$.\\ -Umgekehrt hat jede Parametrisierung $\tilde{\gamma} : J \mapsto \mathbb{R}^n$ von $\Gamma$ die Form $\tilde{\gamma} = \gamma$ an. +Umgekehrt hat jede Parametrisierung $\tilde{\gamma} : J \mapsto \mathbb{R}^n$ von $\Gamma$ die Form $\tilde{\gamma} = \gamma \circ u$. Falls $\tilde{\gamma}$ und $\gamma$ $\mathcal{C}^1$-Parametrisierungen sind, ist wegen $\tilde{\gamma}'(t) = \gamma'(u(t) \cdot u'(t)$ -auch $u$ stetig differenzierbar. Falls $\gamma$ und $\tilde{\gamma}$ regulär sind, so ist $u'(t) \neq 0 \forall t \in J$, das heißt: +auch $u$ stetig differenzierbar. Falls $\gamma$ und $\tilde{\gamma}$ regulär sind, so ist $u'(t) \neq 0 \; \forall t \in J$, das heißt: $u$ ist streng monoton. \subsection{Berechnung der Bogenlänge einer Kurve} %rsync -a --delete source/ destination/, delete für ``auch rückwärtslöschen'' \textit{(Kurve $\gamma : [a,b] \mapsto \mathbb{R}^n$)}\\ @@ -64,7 +64,7 @@ Als \textbf{Bogenlänge} betrachten wir, falls existent: \frac{\gamma_j(t_i) - \gamma_j(t_{i-1})}{t_i - t_{i-1}} \right)^2 \right)^{\frac{1}{2}} (t_i - t_{i-1}) \] Jetzt: MWS für $t \mapsto \gamma_j(t)$ auf $[t_i, t_{i-1}]$ mit $\xi_{ij} \in [t_{i-1}, t_i]$ \[ = \lim_{|Z| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n(Z)} \left( \sum_{j=1}^{n(Z)} \left( -\gamma_j (\xi_{ij})\right)^2 \right)^{\frac{1}{2}} (t_i - t_{i-1})\] +\gamma_j' (\xi_{ij})\right)^2 \right)^{\frac{1}{2}} (t_i - t_{i-1})\] Dieser Term liegt zwischen den Unter- und Obersummen der Funktionen $t \mapsto \| \gamma'(t) \|$ zur Zerlegung $Z$, da $\gamma'_j(\xi_{ij})$ zwischen $\displaystyle \inf_{\xi \in [t_{i-1}, t_i]} \| \gamma'(\xi) \|$ und $\displaystyle \sup_{\xi \in [t_{i-1}, t_i]} \| \gamma'(\xi) \|$, und ist äquivalent zu @@ -75,14 +75,14 @@ Sei $\gamma$ eine reguläre Parametrisierung einer Kurve. Dann berechnet sich di \underline{Beispiel:} Eines in den herunterladbaren Vorlesungsnotizen (Zykloide). Berechnung der Bogenlänge einer Schraubenlinie: \\ \[\gamma : [ 0, 2\pi] \mapsto \mathbb{R}^3, \gamma(t) = \left(\begin{array}{c} r \cos{t} \\ -r \sin{t} \\ +r \sin{t} \ ct \end{array}\right), r,c \in \mathbb{R} \Rightarrow \gamma'(t) = \left(\begin{array}{c} -r \sin{t} \\ r \sin{t} \\ ct \end{array}\right), L_0^{2\pi} = \int_0^{2\pi} \| \gamma'(t) \| dt \] -\[ \Rightarrow LL_0^{2\pi} = \int_0^{2\pi} \sqrt{\underbrace{r^2 \sin^2t + r^2\cos^2t}_{=r^2} + c^2} dt = +\[ \Rightarrow L_0^{2\pi} = \int_0^{2\pi} \sqrt{\underbrace{r^2 \sin^2t + r^2\cos^2t}_{=r^2} + c^2} dt = \int_0{2\pi} \sqrt{r^2+c^2} dt = \sqrt{r} [t]_0^{2\pi}\] \[ = \sqrt{r^2+c^2} (2 \pi - 0) = 2 \pi \sqrt{r^2+c^2} \] \underline{Also:}\\ @@ -96,9 +96,9 @@ Eine der Parametrisierungen einer Kurve $\Gamma$ ist ausgezeichnet:\\ \[ L_{t_1}^{t_2} = \int_{t_1}^{t_2} \| \gamma'(t) \| dt = \int_{t_1}^{t_2} 1 dt = t_2 - t_1 \] %Hier fehlen Bilder, sorry. \underline{Frage:} Wie findet man $\gamma_0$, ausgehend von einer beliebigen Parametrisierung $\gamma$? Wir wissen: -$\| \gamma'_0(t) \| = 1 \forall t \in I$, daher der Ansatz: $\gamma_0 := \gamma \circ u$ +$\| \gamma'_0(t) \| = 1 \; \forall t \in I$, daher der Ansatz: $\gamma_0 := \gamma \circ u$ \[ \Rightarrow 1 = \| \frac{d}{dt} (\gamma \circ u) (t) \| = \| \gamma'(u(t)) \cdot u'(t) \| = -\| \gamma'(u(t)) \cdot \| \cdot |u'(t)| \] +\| \gamma'(u(t)) \| \cdot |u'(t)| \] \[ \Rightarrow u'(t) = \pm \frac{1}{\| \gamma'(u(t)) \|}\] Dies ist eine \textbf{Differenzialgleichung} für die gesuchte Funktion $u$.\footnote{Das Lösen von Differenzialgleichungen wird später im Semester behandelt.} \\ \\ @@ -120,4 +120,4 @@ erster Art. \\ \\ \underline{Anwendung/Motivation:}\\ $f$ wirkt in obiger Funktion als ``Gewichtsfunktion''. In der Tat: ist $f(x)$ z.B. die Dichte (in $\frac{\text{Masse}}{\text{Strecke}})$ eines Drahtes $\Gamma$ an der Stelle $x \in \Gamma$, so ist $\int_\Gamma fds$ die Gesamtmasse des Drahtes. -\textit{(Dies kann man mittels Polygonzug herleiten, wie bei der Bogenlänge.)} \ No newline at end of file +\textit{(Dies kann man mittels Polygonzug herleiten, wie bei der Bogenlänge.)}