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pruefungen:nebenfach:mathematik:elementarezahlentheorie-ws19-loesung [09.02.2021 16:17] – Marcel[Inf] | pruefungen:nebenfach:mathematik:elementarezahlentheorie-ws19-loesung [14.02.2021 17:28] (aktuell) – Marcel[Inf] | ||
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Angabe: {{: | Angabe: {{: | ||
+ | |||
+ | ====== Aufgabe 1 ====== | ||
+ | |||
+ | Euklidischer Algo: | ||
+ | < | ||
+ | 98 362 = 6 * 15 878 + 3094 | ||
+ | ... | ||
+ | 68 = 2 * 34 + 0 | ||
+ | </ | ||
+ | Also ist ggT der zwei Zahlen gerade 34, {{https:// | ||
+ | |||
+ | ====== Aufgabe 2 ====== | ||
+ | |||
+ | < | ||
+ | 254 = 6 * 41 + 8 | ||
+ | 41 = 5 * 8 + 1 | ||
+ | 8 = 8 * 1 + 0 | ||
+ | | ||
+ | 1 = 41 - 5*8 = 41 - 5*(254 - 6*41) = 31*41 - 5*254 | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | Daher ist 31 Inverses von 41 modulo 254. | ||
====== Aufgabe 3 ====== | ====== Aufgabe 3 ====== | ||
* Es gilt: '' | * Es gilt: '' | ||
- | * '' | + | * '' |
* Hier ist '' | * Hier ist '' | ||
- | + | * '' | |
- | | + | |
====== Aufgabe 4 ====== | ====== Aufgabe 4 ====== | ||
- | * Konstruiertes x nach Schema in der VL: x = 14 364 \equiv | + | * Konstruiertes x nach Schema in der VL: '' |
- | * L = 1104 + 1105ℤ | + | * Lösungsmenge ist '' |
+ | |||
+ | ====== Aufgabe 5 ====== | ||
+ | |||
+ | '' | ||
+ | |||
+ | {{https:// | ||
+ | |||
+ | ====== Aufgabe 6 ====== | ||
+ | |||
+ | Zuerst vollständig kürzen. Dazu ggT von Zähler und Nenner berechnen, entweder per TR (wenn es euer TR kann) oder wie folgt manuell: | ||
+ | < | ||
+ | 5525 = 3 * 1575 + 800 | ||
+ | 1575 = 1 * 800 + 775 | ||
+ | 800 = 1 * 775 + 25 | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | Vorzeitiger Abbruch, da '' | ||
+ | Dann mittels TR kürzen: | ||
+ | < | ||
+ | 1575 63 | ||
+ | ------ = ----- | ||
+ | 5525 221 | ||
+ | </ | ||
+ | Es gilt '' | ||
+ | Daher hat der gegebene Bruch eine reinperiodische Dezimalbruchentwicklung (Satz 7.2 im Skript vom WS 20/21). |