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Geschlossene Form für Summenformel
Hallo,
weiß jemand, ob es eine Formel/geschlossene Form für die Summe von 2^(-3k) von k=0 bis unendlich gibt.
Habe es schon mit dem Grenzwert für Potenzreihenfolgenu.ä. probiert, aber es kommt kein sinnvoller Wert heraus.
Ich weiß, dass es gegen 8/7 konvergiert (Dank Wolfram Alpha),
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+of+2^(-3k)+from+k+%3D+0+to+infinity
aber das reicht ja wohl nicht als Begründung.
Für Hilfe und Tipps wäre ich dankbar.
Also die einzig sinnvolle geschlossene Darstellung von einer unendlichen Summe kann nur der Grenzwert sein (man hat ja keine Variablen mehr, da Unter- und Obergrenze fest sind).
Was aber möglich ist: über die Partialsummen (meintest du die vielleicht?) argumentieren. Die Formel dafür steht ja bei WolframAlpha. Dass die gilt, könnte man kurz mittels Vollständiger Induktion zeigen.
Die Formel muss man nur ausmultiplizieren und n → unendlich gehen lassen. Dann hat man den Grenzwert, den WolframAlpha auch ausgibt. 
Ich würde einfach die Formel für die geometrische Reihe verwenden (falls ihr die da verwenden dürft):
2^(-3k) = (2^-3)^k = (1/8)^k
Dann ist die Summe: 1/ (1-1/8) = 8/7
Ah, okay, jetzt hab ichs.
Danke 