Blatt8

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Blatt8
Hab ne Frage zu Aufgabe 2 c). Muss man da ein Polynom mit der Lagrange Formel berechnen? Habe mir die Methode Lagrange polynomial in Wikipedia angeschaut…für die 5 xi Punkte muss man schon relativ viel berechnen…wäre es nicht einfacher, wenns nur 3 Punkte wären??? Ich glaube Ziel der Aufgabe ist zu verstehen wie es funktioniert und nicht die Rechnerei! Und dafür gibt’s nur 2 Punkte!!! Wenn man sich noch da irgendwo verrechnet, dann bekommt man höchstwahrscheiblich sowas wie 1 Punkt obwohl man ralativ viel Zeit fürs Lösen der Aufgabe investiert hat !!!


  1. Wir geben in seltenen Faellen Punktabzug wegen Rechenfehler.

  2. Ja, da hast du Recht: Ein Ziel ist es, das Verfahren zu verstehen!

  3. Wichtig bei der Aufgabe ist mir folgender Sachverhalt: es ist viel Aufwand 200 Punkte mit einem grad 199 Polynom zu interpolieren. Viel einfacher ist es 200 Punkte mit einem Haufen Grad n Polynomen zu interpolieren.
    Wenn ihr spaeter mal Punkte interpolieren muesst, sollt ihr genau an diese Aufgabe denken!

  4. Ihr sollte das Polynom in der Lagrange Basis angeben! Da ist nichts zu rechnen. Einfach die Formel von Folie 31 verwenden:
    $p(x) = \sum_{k=0}^{n}y_k L_k(x)$ mit
    $L_k(x)=\prod_{i=0,i \neq k}^{n}\frac{x-x_i}{x_k-x_i})$.


Wenn ich bei der Aufgabe 1a. p(4) ausrechne bekomme ich dabei nicht ~sin(4) sondern etwas über -5 raus. Bin das ganze jetzt schon mehrmals durchgegangen finde aber keinen Rechenfehler. Gehört das so oder bin ich grad zu blind?
Danke schonmal!

edit: Hat sich erledigt, ich habs tatsächlich geschafft mich drei mal an der selben Stelle zu verhauen …


jo habe das gleiche problem, mein approximiertes ergebnis stimmt ganz und gar nicht mit dem errechneten sin(4) überein.


ich glaube, das muss auch nicht überein stimmen mit dem sin(4), weil diese methode ja nicht 100% das genaue Polynom liefert. Man muss ja auch in der nächsten Aufgabe den relativen Fehler berechnen…oder sehe ich es au falsch?

p.s.
soviel wie in diesem Blatt habe ich noch nie gerechnet(darunter ist auch das ganze Nachrechnen gemeint)!!! :open_mouth:


Omg … okay ich war doch blind :rolleyes:
– gibt + und wenn man das beachtet stimmt auch das Ergebnis :smiley:

@semmy: Das mit dem relativen Fehler bezieht sich auf die Stelle 3,5, die keine Stützstelle ist. An den Stützstellen sollte die Funktion eigentlich, bis auf ein paar Rundungsfehler, genau den Funktionswert der zu interpolierenden Funktion annehmen (soweit ich das bisher verstanden hab - keine Garantie).


innerhalb des bereiches der stützstellen, also [1, 4] sollte das p(x) doch eigentlich auch ganz gut den wert der funktion annähern oder nicht ?
also für x=3.5 auch


Bei Stützstellen bekomme ich fast das richtige Ergebnis und bei 3,5 habe ich p(3,5)=-0,156 und das wäre fast exakte Ergebis von sin(3,3). Ich gaube so wäre es ok, aber gebe auch keine Garantie auf Richtigkeit. Wie siehts bei euch aus?


hi,
hab ein problem bei der 2c)
ich hab die Methoder der Catmull-Rom Splines noch net so ganz verstanden.
Muss ich für jedes der Intervalle[1,2] [2,4] [4,7] [7,8] ein solches Polynom pi berechnen, habe dann also am Schluss 4 Polynome ?

wie genau berechnet man die denn? Kann mir jemand erklären wie man auf die Formel die da in den Folien steht, oder soll ich die einfach glauben ? ^^
ist das in den Formeln für a0 bzw a1 ein “-” im Nenner ?

Wenn ich dan z.B. in p3 meinen x3 Wert, also 4 einsetze müsste doch 2 als Ergebnis rauskommen oder ?

mfg,
hendrik


Also bei mir kommt bei der 1c 0,061049 raus, also genau des gleiche ergebnis wie bei sin(3,5). Ich geh mal davon aus dass man den sin(3,5) auch auf 5 Stellen runden soll.
Kann das sein? ^^ Weil eigentlich soll sich der Fehler verbessern wenn man noch eine Stüztstelle hinzunimmt (1d)


Genau

Denk mal selber darüber nach: Du sucht ein Polynom das an der Stelle x1 den Wert y1 hat, an x2 den Wert y2, an x1 die Steigung y’1 und an x2 die Steigung y’2.
Wenn du dir jetzt das richtige Polynom raussuchst, das LGS aufstellst und symbolisch löst, solltest du genau auf die Formeln im Script kommen

Gruss, Jochen


Wenn sin(3.5) bei dir 0.061… ist, dann solltest du erstmal deinen Taschenrechner von „Grad“ auf „Radiant“ umstellen :wink:
Da sich der Sinus innerhalb von 1 Grad nicht sonderlich ändert, erklärt sich auch, wieso dein Ergebnis so gut ist :smiley:


wie ist des eigentlich bei der aufgabe 2d. hab da jezt die 2 polynome ausgerechnet. sind die jetz stückweise definiert oder addiert man die zusammen?


Auf Folie 31 steht bei L_k(x) das Produkt von i=1 bis n. Ich nehme an das sollte wie du schon geschrieben hast bei 0 beginnen, oder?


schau lieber nochmal nach, du hast insgesamt 5 punkte, also 4 Intervalle. Du brauchst für jedes Intervall ein Polynom → du solltest eigentlich 4 Polynome ausgerechnet haben


ja sorry meinte 4 :stuck_out_tongue: ka wie ich auf die 2 gekommen bin (wahrscheinlich weil die aufgabe 2d ist)
also die 4 polynome sind dann stückweise definiert denk ich mal, also das jeweilige polynom zwischen 2 punkten ist dann auch nur zwischen den 2 punkten definiert


hmm^^ weiss ich nicht genau, wuerde mich auch mal interessieren…

und ich naette noch ne Frage zur 2c,d)
wo genau liegt denn jetzt der Unterschied zwischen Lagrange und Catmull-Rom ? bzgl. der Zeichnung. Ist Catmull Rom irgendwie genauer oder sowas ?


ich glaub bei lagrange liegt der scheitel der parabel genau in der mitte von 2 punkten und ist nur vom grad 2
bei catmullrom ist der grad 3 und hat immer einen wp zwischen 2 punkten ?!

oder so ähnlich…
vielleicht lieg ich auch einfach komplett falsch. ^^


Genau

Naja, was soll denn genauer bedeuten?

  • Catmull-Rom ist lokal und darum stabil.
  • Lagrange ist lokal und darum fragil. Interpoliere mal 100 Punkte mit Lagrange. Da wird der Interpolant wahrscheinlich ordentlich oszillieren. Catmull-Romj wird die Punkte jedoch schön glatt interpolieren.

Gruss, Jochen