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fisilti
Student
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Member since Nov 2004
22 posts
Subject: Givens-Rotation(Blatt 6 aufgabe 2)
hi,

A ist gegeben  ist    3x3 matrix
 
                      28 14  87
                    -16 -98 66
                      16 80 15

wie kriegt man Given rotation Matrix jedes mal wenn man neue A^n  rechnen möchte was ich meine

 s= sina   c=cosa


A^1  ist

          c   -s   0
          s    c   0
          0    0   1

A^2 ist

          c   0  -s
          0   1   0
          s   0   c


was ist mit A^3   gibt es eine allgeime formul dass man entsprechende GR matrix erzeuge  ich kann von det(A^n) = 1  raten aber das finde ich quellerei

gruss
An einer Weggabel angelangt fragt Alice die Katze:
"Welchen weg soll ich nehmen?"
"Es hängt davon ab,wo du hin willst", antwortete die Katze.
"Ach,das ist mir eigentlich gleichgültig."
"Wenn es dir egal ist,wo du ankommst",sagte die Katze,
"dann ist auch egal,welchen Weg du nimmst".

L. CARROLL , Alice im Wunderland
PhiBa
Member since Nov 2004
64 posts
Also ich würde das so machen:

G_{2,1} =

 c  s  0
-s  c  0
 0  0  1

("nullt" a21)

Hier in diesem Beispiel also :

c = 28 / sqrt(28^2 + (-16)^2)
s = -16 / sqrt(28^2 + (-16)^2)

Die 28 kommt von a11 und die -16 kommt von a21. Also quasi die Positionen des ersten c und des -s in A. Die dann nur noch normalisiert werden müssen.

Das -s befindet sich also immer an der Position die in A "genullt" werden soll.

Die Erklärung ist nicht wirklich schön, aber vielleicht hilft es was.

MfG Philipp
Goethe
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Member since Dec 2004
246 posts
Eigentlich ist s und -s in der Rotationsmatrix vertauscht ... Was aber keinen Unterschied machen sollte.. einmal ist es eben der sinus und einmals das negative vom sinus.

Bei der Definition im Skript lautet A aber

c -s 0
s c  0
0 0 1

wobei sich dann allerdings s und c vom Vorzeichen her anders berechnen.

Geg.: Matrix A der Form

 * * * *
 0 * * *
 a * b *
 * * * *

Um nun a zu eliminieren muss man die Rotationsmatrix R

 c 0 -s 0
 0 1  0 0
 s 0  c 0
 0 0  0 1 mit s = sin(φ) und c = cos(φ)

so wählen, dass folgende Gleichungen erfüllt sind:

Aus Matrixmulitplikation folgt für das Ergebnis in Zeile 3, Spalte 1:
a*c + b*s = 0 (soll null werden)

Aus der dem Zusammenhang von s und c folgt:
s² + c² = 1

Löst man die erste nach c auf (nicht nach s, da b ja 0 sein könnte, a aber sicher nicht, sonst könnte ich mir alles sparen), und setzt es in die zweite Gleichung ein bekommt man:

s² + (b/a)²s² = 1 → s² = a²/(a² + b²)

und somit:

s = a/(a² + b²)
c = -(b/a)*s = - b/(a² + b²)
This post was edited on 2006-09-17, 15:22 by Goethe.
PhiBa
Member since Nov 2004
64 posts
Das mit dem Vorzeichen ist Geschmackssache. Bei uns in der Übung haben wir es halt so gemacht und ich finde es auch anschaulicher.

Mit dem Vorzeichen muss man dann ja eh aufpassen, weil man die Matrizen transponieren muss, wenn man die Matrizen der Givensrotationen auf die andere Seite bringen will um Q zu erhalten. (G^{-1} = G^T)

Meintest du bei deiner Matrix A nicht die Form:

 b * * *
 0 * * *
 a * * *
 * * * *



MfG Philipp
This post was edited on 2006-09-17, 15:40 by PhiBa.
Goethe
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Member since Dec 2004
246 posts
Genau die  :red:
langermatze4
Member since Nov 2004
40 posts
also ich hab den ganzen Schlontz grad auch mal aufm Papier gemacht und das is ja echt ein Gefummel ohne Ende...

Hab zur Kontrolle mal die Maschine angeschmissen.
Die sagt folgendes:

octave:22> A = [28,14,87;-16,-98,66;16,80,15]
A =

   28   14   87
  -16  -98   66
   16   80   15

octave:23> [Q,R]=qr(A)
Q =

  -0.777778  -0.622222  -0.088889
   0.444444  -0.644444   0.622222
  -0.444444   0.444444   0.777778

R =

  -36.00000  -90.00000  -45.00000
    0.00000   90.00000  -90.00000
    0.00000    0.00000   45.00000

Also das R hab ich auch so ähnlich - nur eben doch anders :(

   36   90    45
    0  -90    90
    0    0    45

wenn die 45 unten rechts nochn Minus hätte, dann wär ich beruhigt...
This post was edited on 2006-09-17, 21:50 by langermatze4.
lusiux4
Member since Oct 2004
63 posts
Ich denk mal, das kommt ganz drauf an, wie die Q Matrix aussieht.

Hab einmal mit Householder und einmal mit Givens die R Matrix bestimmt und zwar die gleichen Zahlenwerte bekommen, aber andere Vorzeichen. Und die Berechnung der Q Matrix hab ich mir beides Mal geschenkt.
Lord_of_Code4
Member since May 2005
168 posts
hab die gleichen Werte.

Wisst ihr ob wir die Matrixmultiplikationen mit dem Taschenrechner machen dürfen oder wollen die keine Rundungsfehler?
lusiux4
Member since Oct 2004
63 posts
Keine Ahnung.

Aber so schwer war das mit dem Bruchrechnen auch net. Vielleicht etwas langwierig, aber sonst ok.
Mercury
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Member since Nov 2004
69 posts
ich würd mich nicht zu sehr auf den TR verlassen. Mir hat ein Kommilitone erzählt dass sie ketztes jahr keinen TR verwenden durfte und so hatte ich das eigentlich auch beim Greiner verstanden!
Lord_of_Code4
Member since May 2005
168 posts
Diese Zerlegung ist immer möglich, aber nicht eindeutig.

Steht im Skript zur QR Zerlegung
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