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Blatt 5, Ergebnisvergleich
Ok, dann mal wieder meine vorläufigen Matheergebnisse zum vergleichen.
19
a) + b) einfach solange rechnen, bis man von der linken Seite zur rechten kommt
c) Würde die Norm durch ein SP induziert werden, müsste Parallelogrammgleichung gelten, also einfach mal einsetzen. Linke Seite ist bei mir 5 und rechte Seite ist bei mir 4 >> Parallelogrammgl. gilt nicht
20
Ja, der Strahl trifft den Spiegel E-“Schlange”, ‘zufälligerweise’ genau in dessen Mittelpunkt (-4,3,2)
21
a)
v1 = (1,1,1) ; v2 = (0,1,1) >> U = span{v1,v2}
v3 = (0,-1,1) >> U-“Komplement” = span{v3}
b)
d(0,H) = 1/√2
HNF: <x,n0> = <p,n> = d(0,H) >> <x,n0> = 1/√2 [=1/√2(x3-x2)]
22
||p-q|| = √( 2/21 - (4/13)a + (2/5)a² - (4/11)c + 2c² + (4/3)ac + (2/3)b² )
Das ist die Norm, stur ausgerechnet. (ich hoffe dabei nicht verrechnet)
Minimal wird das Ganze dann bei mir für a = 75/143, b = 0 und c = -12/143
Also, gerade bei 19c) und bei der 22 stehen einige Fragezeichen.
Was meint ihr? Geht die 22 ganz anders? Hat jemand auch diese lange Gleichung?
Flo
Schaut gut aus 
19c) Hab ich auch so gemacht.
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Hab mir schon gedacht das meine seltsamen Brüche nicht stimmen können :-/ Wie lautet denn der Vektor deines reflektierten Lichtstrahls (nur damit ich seh, wo ich mich verrechnet hab)?
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Hab v3 = (0,1,-1) und somit bei der b) HNF: 1/√2(x2-x3), aber das ist ja quasi das Gleiche…
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Die Norm hab ich auch so berechnet. Naja und mit schief anschauen hab ich dann gesagt, dass a=b=c=0 sein muss, da die positiven Summanden aus den Quadraten der Koeffizienten immer schneller steigen würden als die negativen Summanden. Frag mich momentan nur noch wie es im Intervall -1 < a,b,c < 1 aussieht…
Gruß
dito
reflektierter Strahl “gleicher Länge” ist (-120,15,30), woraus ich die Strahlengerade x=(4,2,0)+l(-8,1,2) mach
Haha, es geht doch anders 
Einfach mal die scheiß Gleichung nach a, nach b und nach c ableiten, Minima suchen und siehe da, man erhält:
Die Norm wird minimal für a = 75/143, b = 0 und c = -12/143
Setzt man die Zahlen ein, wirds unter der Wurzel auch kleiner wie 2/21 (womit die 3 Zahlen schonmal “richtiger” sind als dreimal 0 ;-))
Hatte es auch erst so begründet, dass die positiven Summanden aus den Quadraten der Koeffizienten immer schneller steigen als die negativen Summanden, und mir dann auch die Frage nach Zahlen kleiner Null gestellt. Eine Frage, die wies ausschaut berechtigt ist
Habt ihr bei der 22 das totale Differential ausgerechnet?
ok frage zur HNF…
also 1/√2(x2-x3) hab ich auch aber muss ich nicht noch irgendwas berechnen dass ich dann auf 1/√2(x2-x3), = irgendwas komm also quasi der abstand vom nullpunkt?
denn wenn ich also den Ursprung in die HNF eintrag komm ja nicht Wurzel 2 raus sondern 0…d.h. da stimmt doch die HNF noch nicht ganz…
also jetz hab ichs…mit 1/√2(x2-x3), ist es ja nicht getan…
man muss ja dann noch den Aufpunkt im Skalarprodukt mit dem Normalenvektor zur Normalenform addieren…
→ x2-x3+1=0 (normalenform)
→ HNF: 1/√2(x2-x3+1)= 0
–>Ursprung eingesetzt: 1/√2(0-0+1)=d → d=1/√2
@MuMu: Wenn du den Ursprung einträgst kommt natürlich nicht 1/√2 raus. Die HNF einer Ebene E liefert ja auch nur den Abstand vom Ursprung für alle x aus E. Und wenn der Ursprung nicht in der Ebene liegt, dann kann man den auch nicht als x einsetzten, sondern eben nur einen Punkt aus E.
Also hier zB: P1 = p+u1=(2,1,2) und P2=p+u2=(1,1,2) liegen beide in H → Einsetzten in HNF → 1/√2(x3-x2)=1/√2(2-1) = 1/√2
@TheChip:
Zur 20) Danke, jetzt hab ich das auch raus; was zwei kleine Minuszeichen so alles ausmachen…
Zur 21) HNF ist 1/√2(x3-x2), hatte das Minuszeichen vom gerichteten Abstand vergessen…
Zur 22) Also du hast die Gleichung nacheinander nach a,b und c abgeleitet und hast dann die 3 Gleichungen aufgelöst? Kling plausibel, aber genau genommen müsste man ja gleichzeitg nach a,b,c ableiten. So nimmt man ja immer an das jeweil die anderen beiden Koeffizienten konstant sind.
Aufgabe 20 und 21
Was ist denn bei euch der Vektor für den Lichtstrahl?
Der Mittelpunkt einer Ebene kann doch jeder Punkt sein, oder - eine Ebene hat ja kein Ende.
Darum hab ich meinen Lichtvektor so berechnet (1,1,1)T - (110,6,65)T = (-109, 7, 66)T.
Passt der so?
Wie kommt ihr bei der Aufgabe 21 auf 1/√2(x3-x2) als HNF?
Ich habe da 1/√2 +x3-x2.
auch noch ne frage zu 19c: was soll ich da bitte wie einsetzen? komm da grad kein stück weiter…
Ist in der Aufgabe (mal wieder) etwas unverständlich formuliert:
Da λ und μ jeweils aus [0,2] sind liegt der Mittelpunkt der Rechtecke bei λ=1 und μ=1.
Bei der 21) hab ich’s halt so gemacht wie’s im Grabmüller-Skript steht…
@MuMu: In der a) ist ja die Parallelogrammgleichung gegeben, da hab ich dann einfach für x 1 und für y t eingesetzt und ausgerechnet…
@ theflow:
||1+t||² + ||1-t||² = 2(||1||²+||t||²)
→ (1+2t+t²)+(1-2t+t²) = 2 + 2 t²
→ 2 +2t-2t + 2 t² = 2 + 2t²
→ 2+ 2t² = 2 + 2t²
also irgendwo hab ich da den wurm drin…
@andy: hab den Ausdruck totalles Differential noch nie gehört
Zur 22)
Ja, ich hab einfach 3 mal abgeleitet, und mir so die 3 Gleichungen besorgt, die ich für 3 Unbekannte brauch. Bitte nicht fragen warum, aber so rein vom Gefühl her stimmts @andy: Ist das ein tot. Diff.?
Zur HNF: Einfach im Skript nachschauen, verschiedene Allternativen der HNF (wobei das immer als Gleichung mit 2 Seiten zu sehen ist!):
<x - p,n0> = 0
<x,n0> = <p,n0>
<x,n0> = 1/√2
usw…
@MuMu: du musst für das, was zwischen deinen „||“ steht die auf dem Blatt befindliche Definition der Norm einsetzen, die eigentlich nur besagt: Ergebnis ist der größte Wert, den die Funktion im Intervall [0,1] annimmt.
Für die linke Seite:
||1+t||² + ||1-t||²
1+t (ne einfach Geradengleichung) >> größter Wert im Intervall [0,1] ist 2, nämlich an der Stelle 1
1-t >> analog, größter Wert ist hier 1 an der Stelle 0.
||1+t|| wäre also 2
und so weiter… Verstanden?
totalles differntial hat was mit funktionen mit mehreren unbekannten zu tun und ist stoff der analysis, also ich glaub kaum das des hier gefragt ist.
und des kommt so ziemlich am ende des 2. semesters, das ist dan höhere mathematik nicht so ein schmarn wie das hier 
lol
und beim totallen
diferential gibts eigentlich auch ziemlich viel zu rechnen.
@the chip: jo danke!
@ValentinesDayMassacre: Ich sag ja, noch nie gehört
@MuMu: Keine Garantie, dass das stimmt, aber find ich recht logisch, und wenns TheFlow auch so sieht, dann sind das schonmal zwei.
Aber gerade deswegen find ich ja Ergebnisse vergleichen so nützlich.
Es sieht so aus als ob ihr genau das machen wollt.
Um ne Funktion von 3 Unbekannten zu minimieren rechnet man natürlich
deren Tiefpunkte aus. Das macht man bekanntermaßen mit der Ableitung.
Nun kann man aber die Funktion nicht direkt nach 3 Variablen ableiten,
sondern muss ihre partielle Ableitungen bilden, was ihr ja alle gemacht habt.
Wie bringt man jetzt die partiellen Ableitungen zu der (totalen) Ableitung der Funktion zusammen?
AFAIK ist das in unserem Fall ganz einfach
(vorausgesetzt die Funktion ist überhaupt total differenzierbar):
df = df/da * da + df/db * db + df/dc *dc
(wobei hier die Quotienten df/d_ partielle Ableitungen und sämtliche
andere ds normale ds sind. Latex-Renderer wäre praktisch. ^^)
Wenn man jetzt df=0 setzt kommt man wahrscheinlich genau auf das
Gleichungssystem was ihr gelöst habt.
Ich hätte eigentlich gedacht das man die Aufgabe mit Orthogonalprojektion
lösen soll, komme da aber nicht wirklich weiter. Hat sich da auch jemand
dran versucht?
Ja, hab ich:
Man nehme:
300g Orthonormalbasis aus Aufgabe 17
3TL Skalarprodukte von p mit diesen Basisvektoren
Die Skalarprodukte gut mit den entsprechenden Basisvektoren verrühren, und bei 180°C 30 Minuten lang backen.
Wenn’s anbrennt, das Ergebnis umgehend in den Ausguss ableiten. Oder so.
Das Ergebnis sollte ungefähr wie (75/143)x^2 - 12/143 aussehen.
Jedenfalls bei mir.
…und ein LaTeX-Renderer wär wirklich sehr praktisch…
Hmm dann war ich sogar auf dem richtigen Weg.
Jetzt versteh ich auch was du heute gemeint hast: Wenn ich den Vektor auf
den Unterraum projeziere kommt natürlich wieder ein Vektor raus, den ich
mit bestimmten Werten für a,b,c darstellen kann.
Hatte ich eigentlich nicht anders dastehen, aber in der Vorstellung
verrannt ich muss direkt auf ein Gleichungsystem für a,b,c kommen.