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Übungsblatt 4, Aufgabe 15: orthogonales Komplement
Huhu. Also wir ham in der Matheübung irgendwas der Form
{x ∈ R³| x ⊥ (1,0,0)} = {x ∈ R³| x ° (1,0,0) = 0}aufgeschrieben. Ich hab jetzt allerdings keine Ahnung wie ich damit das orthogonale Komplement ermitteln soll ^^
Kann mir vielleicht einer einen kleinen Tipp geben, was man da machen soll/muss?
Dankeschön
Achja, und was besagt mir das hochgestellte T ? irgendwas mit Transposition, aber was versteh ich darunter, weil wenn ich bei der c) einfach diese beiden vektoren v1 und v2 in des gegeben skalarprodukt einsetze und den Winkel berechne komm ich auf
cosφ = 1/1 --> φ=0°und dies erscheint mir unsinnig …
Soweit ich weiß geht das wie folgt:
( ( <x,y> ) / |x| |y| ) = 0
Das musst du auf das angegebene Skalarprodukt beziehen.
Da setzt du den gegebenen Vektor ein und löst nach den y auf.
Dann kommt bei mir raus, dass nur (0,0,0) orthogonales Komplement
ist. Weiß allerdings nicht, ob das richtig ist, könnte auch vollkommener
Schwachsinn sein. Hab auch ned so den Plan.
Vielleicht bringts dir ja was.
P.S.: Das hochgestellte T steht soweit ich weiß nur da, da der Vektor
in Zeilenform und nicht in Spaltenform dasteht.
Bei der c, hab ich das gleiche raus. Ist zwar Schwachsinn, liegt aber
wohl an diesem seltsamen Skalarprodukt.
also bei dem winkel … etz hab ich meinen fehler … der betrag von v1 ist nicht √1 sondern √2 … weil ja die dritte “koordinate” x1+x2+x3 ist … jetzt komm ich auch auf die 45°
und beim orthogonalen Komplement: hab einfach mal
x ° (1,0,0) = 0gesetzt (so wie wirs in der Übung aufgeschrieben hatten) und bekam dann
x1+(x1+x2+x3)=0
=> 2x1+x2+x3=0
in Parameterdarstellung dann
x=(0,0,0)+λ(1,-2,0)+μ(0,-1-1)hoffe das ist dann so richtig :rolleyes:
also ein orthogonales Komplement bekommt man immer bezueglich eines Unterraums,
in dem Beispiel
{x ∈ R³| x ⊥ (1,0,0)} = {x ∈ R³| x ° (1,0,0) = 0} ist es das orthogonale Komplement des Unterraums der von (1,0,0) aufgespannt wird.
Wenn da statt (1,0,0) eben (0,2,1) staende, dann waere es das Orthogonalkomplement von span <(0,2,1)> und wenn da staende:
{x ∈ R³| x ° (1,0,0) und x ° (0,2,1) = 0}
dann waere es das Orthogonalkomplements von span<(1,0,0),(0,2,1)>
ein orthogonales Komplement eines Unterraums ist die Menge aller Vektoren die senkrecht zu allen Vektoren des Unterraums sind, wenn man zB eine Ebene im IR^3 als Unterraum hat, dann ist der vom Normalenvektor der Ebene aufgespannte Unterraum das orthogonale Komplement der Ebene.
und noch ein kleines Beispiel:
wenn zB man einen Unterraum hat, der zB durch eine beliebige Menge an Basisvektoren definiert und man nun das Orthogonalkomplement sucht, dann muss er jeder Basisvektor des Orthogonalkomplements zu allen Basisvektoren des Unterraums orthogonal sein, d.h. das Skalarprodukt mit allen Basisvektoren muss 0 sein. Dadruch kriegt man dann ein unterbestimmten LGS und je nach Freiheitsgrad bekommt man eben den bzw mehrere Basisvektoren des Orthogonalkomplements, die man dann natuerlich noch mit beliebigen Verfahren zu einem ONS umwandeln kann, wenn man will.