Skript Seite10

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Skript Seite10
Dieses Beispiel hat mir geholfen, die Seite 10 zu verstehen:

“… Mengen, deren Elemente selbst wieder Mengen sind, sind nichts Außergewöhnliches in der Mathematik. Allerdings muss vor allzu sorglosen Mengenbildungen gewarnt werden, da diese zu Widersprüchen oder sog. Antinomien führen können. Nach Russel führt beispielweise die “Menge” R aller Mengen, die sich selbst als Element enthalten zu einem Widerspruch. Wäre R wirklich eine Menge, so müsste man anhand der definierenden Eigenschaft von R festlegen können, ob R selbst Element von R ist oder nicht. Es stellt sich aufgrund der Beschreibung von R aber heraus, dass “R ∈R genau dann gilt, wenn R !∈R gilt”, ein Widerspruch. Bei R kann es sich demnach unmöglich um eine Menge handeln!
Der analoge Sachverhalt liegt beim Barbier von Sevilla vor: Dieser rasiert genau diejenigen in Sevilla lebenden Männer, die sich selbst nicht rasieren. Wäre nun die Gesamtheit S aller Männer, die vom Barbier rasiert werden, eine Menge, so folgte, dass der Barbier selbst genau dann su S gehört, wenn es nicht zu S gehört. Also kann S keine Menge sein. …”

Quelle: Seite 29 Dirk Hachenberger “Mathematik für Informatiker”, 2005, Pearson Studium


Beim Beispiel auf Seite 10 handelt es sich im Prinzip um den Gödelschen Unvollständigkeitssatz. Dieser sagt aus das es Aussagen in der Mathematik gibt die weder wahr noch falsch sind und somit unentscheidbar. Der Beweis dazu ist eigentlich recht simpel: Sei G ein Satz oder eine Aussage in einem Mathematischen System. G sagt folgendes aus “G kann im Mathematischen System nicht bewiesen werden”. Dann spielt man die Fälle wenn G=wahr oder G=falsch ist durch und kommt immer auf einen Widerspruch (nicht bewiesen werden heißt soviel wie die Aussage ist nicht wahr).

Sehr zu empfehlende Literatur zu diesem Thema und weit darüberhinaus ist: Hofstadter: “Gödel, Escher, Bach”