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Aufgabe 37b)
Sin(z)= 2 ???
HÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ?
Gelten in den komplexen Zahlen neue Regeln, oder seit wann darf der Sinus grösser 1 sein :#:
Check mal das Skript, da steht wie du sin(z) noch ausdrücken kannst. Aber kanst du mir bitte zur 36 erklären, wie du die Formel aufgelöst hast?
Die Lösung ist
arcsin(x) = arcsin(1) + i * Arcosh(x)
Weiß nur noch nicht, wie man da rechnerisch drauf kommt… 
Ich hab jetzt als Lösung:
-(Imz²) = Rez²
bekommen…das gilt ja praktisch nur, wenn Rez und Imz gleich 0 sind, also z gleich 0 ist !
Kann das so stimmen ???
Also hier ist der Lösungsweg:
Aus dem “trigonometrischen Pythagoras”: sin² + cos² = 1
folgt: cos(z) = wurzel(3) i
Jetzt nimmt man die Gleichung:
e^(iφ) = cos φ + i sin φ
also:
e^(iz) = 2 i + wurzel(3) i
zi = ln (i(2 + wurzel 3))
z = ½π - i ln(2 + wurzel3)
Aus dem „trigonometrischen Pythagoras“: sin² + cos² = 1
folgt: cos(z) = wurzel(3) i
Wieso dass denn? Kannst du mir das bitte erklären?
Jetzt nimmt man die Gleichung:
e^(iφ) = cos φ + i sin φ
Und wie kommst du darauf?
also:
e^(iz) = 2 i + wurzel(3) i
zi = ln (i(2 + wurzel 3))
z = ½π - ln(2 + wurzel3)
Ab da kann ich dann wieder folgen, aber wie du dahin gekommen bist, habe ich keinen Plan. Währe nett, wenn du das nochmal erklären könntest, weil ich muss morgen schon die Hausaufgaben abgeben.
sin²+cos² = 1 kannste ja ganz eifach umformen :
sin(z)²+cos(z)² = 1
wir wissen sin(z)= 2 , also:
4 + cos(z)² = 1
<=> cos(z)² = -3
<=> cos(z)² = 3 * i²
<=> cos (z) = i * Wurzel (3)
ich hoffe ich konnte dir helfen… :]
Cool, das war schon mal ganz nett, den Rest bekomme ich hoffentlich noch irgendwie hin.
Klitzekleine Frage noch…
e^(iz) = 2 i + wurzel(3) i
zi = ln (i(2 + wurzel 3))
z = ½π - ln(2 + wurzel3)
müsste die letzte Zeile nicht ein i vor ln(2+sqrt(3)) haben?
Richtig…
Ich habe als Lösung:
z = 1/2pi + (ln (sqrt(3)+2) durch i
Zur Erklärung:
zi = ln (i(2 + wurzel 3))
<=> zi = ln i + ln (2+sqrt(3))
<=> zi = 1/2pi*i + ln (2+sqrt(3))
das alles jetzt durch i geteilt:
z = 1/2pi + ln (2+sqrt(3))/i
oder hab ich da nen Fehler drin ?
Durch i teilen ist das gleiche wie mit -i malnehmen.
OK, noch 'ne dumme Frage:
[QUOTE]Jetzt nimmt man die Gleichung:
e^(iφ) = cos φ + i sin φ
also:
e^(iz) = 2 i + wurzel(3) i[/QUOTE]
Wie soll das gehen? Für φ (was ja 'ne reelle Zahl bzw. ein Winkel ist) mal schnell 'ne komplexe einsetzen???
jupp es geht.
die formel gibts in zwei versionen.
e^iphi = cos phi + i sin phi
(auch eulersche relation genannt)
und
e^z = e^(x+iy) = (e^x) * (e^iy)= (e^x)* ( cos y + i sin y )
(allgeminer fall)
heisst also nichts anderes, als dass du da reinwerfen kannst was du willst. (allerdings musst du darauf achten, dass “iy” rein imaginär ist. ist “y” also komplex, musst du umformen. genau nach dem schema wie es krull gemacht hat)