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Aufgabe 36
Die Gleichung ist durch Substitution recht einfach zu lösen:
u := z³
u² + (2 + 3/2 i) u - (½ - i) = 0
Das dann mit der altbekannten Lösungsformel gelöst, ergibt sich:
u1 = -½i
u2 = -2 - i
Die 6 Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind also jeweils die 3 Wurzeln 3. Grades aus u1 und u2.
Da die Frage ist, ob diese im Einheitskreis liegen, kann man sich folgendes zunutze machen: Die Punkte in der GZE zu den n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl bilden immer ein regelmäßiges n-Eck mit dem Ursprung als Mittelpunkt. Wenn also eine dieser Wurzeln innerhalb des Einheitskreises liegt, liegen alle drin.
Jetzt zieht man aus u1 und u2 noch die 3. Wurzeln mit Hilfe der bekannten Formeln, und überprüft für je ein Ergebnis, ob der Betrag < 1 ist.
Bei mir sind z1, z2, z3 (die Wurzeln aus u1) innerhalb, und z4, z5, z6 (die Wurzeln aus u2) außerhalb des Einheitskreises.
Ich kann es nicht fassen, aber nach Stunden hab ich diese Aufgabe auch geschafft. 3 Lösungen liegen drinnen, 3 nicht.
Wie kommst du auf u1 und u2?
Sagmal, wie kommst du eigentlich auf u1 und u2? Unter der Wurzel bei der Mitternachtsformel steht bei mir immer (2+3/2i)²-4*(-1/2+i), also 2i + 15/4 (wenn ich mich nicht verrechnet hab…) wie kommst du auf deine Lösungen?
Jo, ich frag mich auch wie du auf diese Lösungen kommst, bei mir steht auch so jede Menge Mist und riesen Zeugs unter der Wurzel!!!
Ja bei mir genausi… hab oben einmal ein i außerhalb der Wurzel und dann noch + - Diskriminante … in der Diskr. ist aber auch noch ein i !!!
Ich weiß net wie ich das zusammenfassen soll! 
aufagabe 36
8-( Hej Mr.Krull, wie kommst du auf
u1 = -½i
u2 = -2 - i
ich habe u1,2= (-(2 + 3/2i)+sqrt(15/4+2i))/2, die Frage ist,wie ich mich von der Wurzel befreien kann :wand: .
Also die Diskriminante ist:
D = b² - 4ac = (2 + 3/2 i)² + 4(½ - i)
= 4 + 6i - 9/4 + 2 - 4i - 2 = 15/4 + 2i
Zu dem Ergebnis seid ihr ja auch gekommen.
D = 15/4 + 2i
lässt sich anders schreiben als
D = 4 + 2i - ¼ = 4 + 2i + i²/4
und das passt genau für die binomische Formel, also:
D = (2 + ½i)²
Und die Wurzel ist dann 2 + ½i.
Denke der Rest ist offensichtlich.
Hallo,
also trotz des Risikos, das ich da jetzt was verwechsle:
In der Angabe heisst es :
z^6+(2+ 3/2i)z^3-(1/2 - i) = 0
Also was ich meine - (1/2 -i) → andere Diskriminante und
andere Wurzeln:
Ferner U1 = -i/2 und U2 = -2-i
Na wie siehts aus ?
Ps.: könnte mal jemand erklären, wie ich die 3te Wurzel
aus u1,2 berechne, genauer wie bestimme ich das Phy für
die Formel zum einsetzen.
vor allem im Fall -2-i, für den anderen müsste es 3pi/2 sein denke ich ?
MFG, Martin
Stimmt, ich hatte + statt - geschrieben; hab ich schon verbessert. Rest und Ergebnisse stimmen aber.
Die 3.Wurzel kannste ganz leicht anhand Formel 1.5.3.6. aus dem Bronstein berechnen. Musste allerdings garnicht !!
Der wichtige Teil der Formel ist das n-te Wurzel aus Betrag von p !! Dieser Teil ist relevant dafür, ob die Wurzeln im Einheitskreis liegen oder nicht !!
Übrigens… nachedem ich auch das Problem mit der Diskrimenante (ein Quadrat unter der Wurzel zu schreiben) genauso wie es Krull vorgeschlagen hat gelöst habe, habe ich gemerkt, dass man dafür auch die Formel vom 5.ten Übungsblatt benutzen kann, die wir ja bewiesen haben ;))
kommt genau das selbe raus 
[quote=Krull ]
…Die Punkte in der GZE zu den n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl bilden immer ein regelmäßiges n-Eck mit dem Ursprung als Mittelpunkt…[/QUOTE]
Was bitte meinst du mit “GZE”??
Gauß’sche Zahlenebene
bildlich:
kartesisches system, eine x- und eine y-achse.
darstellung von komplexen zahlen:
y ist imaginärteil
und
x ist realteil
(ja, ich wusste dass du das wusstest ;))
Müssen wir die Lösungen auch angeben oder reicht es dass wir beweisen dass 3 drin sind und 3 nicht ?? :rolleyes:
reicht, schliesslich beantwortet es genau die fragestellung
hoffe ich jedenfalls, sonst werden mir ein paar punkte fehlen
nun ja wir hatten das theater schon bei diesem pseudo code wo viele gedacht haben das die angabe der erzeugenden elemente nicht gefragt war… :wand: