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AlgoKS - Fragen zum Stoff
Hallo zusammen,
ich hätte noch einige inhaltliche Fragen zur kommenden AlgoKS Klausur:
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IEEE-Zahlen werden in den Folien nur eher als Standard-Ausprägung von Maschinenzahlen angesprochen, für genaueres wird auf entsprechende Referenzen verwiesen (Der Bias wird bspw. nicht angesprochen). Müssen wir diese also vollständig interpretieren/umwandeln können oder ist Wissen über allgemeine Maschinenzahlen (Siehe vorherige Folien) ausreichend?
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Wann genau ist ein lineares Gleichungssystem Ax=b unter/überbestimmt? Falls A weniger/mehr Zeilen als Spalten besitzt (auch wenn einige der Gleichungen identisch sind) oder wenn weniger/mehr eindeutige Gleichungen als Unbekannte existieren?
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In einigen alten Klausuren wurde danach gefragt, den Catmull-Rom Interpolanten für eine gegebene Punktmenge zu Zeichen. Wie geht man hier genau vor?
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Wie genau funktioniert der least-square-minimizer? Handelt es sich hier um eine Art Ausgleichspolynom?
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Müssen bei der Berechnung der SVD gewisse Aspekte bei der Auswahl der genauen Eigenvektoren betrachtet werden, oder kann ein beliebiger ausgewählt werden?
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Da die IEEE-Zahlen weder in Vorlesung noch in Übung en detail besprochen wurden, ist es meiner Meinung nach ausreichend diese im Sinne der Standardausprägung zu kennen. Wissen über die allgemeinen Maschinenzahlen sollte hierfür komplett ausreichen. Ich kann mir jetzt bei bestem Willen nicht vorstellen, dass die Eigenheiten von IEEE 752 abgefragt werden mit den ganzen Zusatzbedingungen an Über-/Unterläufe oder das spezielle Runden.
Damit hatte ich auch lange ein Problem, aber Über- beziehungsweise Unterbestimmtheit von LGSen bezieht sich nur auf das vorliegende System, ohne Aussagen über lineare Unabhängigkeit zu treffen. Genauer:
[color=blue]Sei A \in IR^{n \times m}, x \in IR^n, b \in IR^m, so heißt das LGS Ax = b …
… überbestimmt, wenn n > m,
… unterbestimmt, wenn n < m,
… eindeutig lösbar, wenn die Lösungsmenge aus nur einem Element besteht.
[/color]
Eigentlich genauso wie in Präsenzübung 6.1d). Man schätzt als erstes die Ableitungen an den Stützpunkten ab, dies geht beispielsweise über zentrale Differenzen. Dann interpoliert man, indem man eine Kurve zeichnet, welche sich in den Stützpunkten an die eben approximierten Ableitungen anschmiegt. Man kann das auch berechnen, aber hier ist ja eine graphische Lösung gefordert.
Hier bin ich gerade etwas aufgeschmissen, meinst du allgemein warum das (linearen) Least-Squares-Problem eine sinnvolle Variante ist, um beliebige LGS zu lösen, oder warum es das Residuum minimiert. Weil letzteres ist einfach die Definition einer Lösung des (L)LSP. Und es ist eigentlich auch kein Ausgleichspolynom, diese wurden zwar mittels (L)LSP bei uns gelöst, aber man kann mit diesen LSP mehr machen als nur Ausgleichspolynome zu bestimmen.
Naja, du musst aufpassen, dass die Vektoren von V zu den Vektoren von U passen. Zudem muss sowohl V als auch U orthogonal sein, was heißt du musst orthonormale Vektoren in Zeilen und Spalten von V/U haben. Deswegen nein, kann nicht.
Danke erstmal für die schnelle Antwort.
Verstehe ich das dann richtig das dann insbesondere für eine gegebene Gleichung keine oder mehrere dieser Eigenschaften gleichzeitig erfüllt sein können (Bsp. Ax=b; A={{1,2},{2, 4},{4,2}; b = {1, 2, 3} ist überstimmt als auch eindeutig lösbar)?
Hier war ich von dem Least-Squares in dem Namen etwas verwirrt, da diese häufig im Zusammenhang mit Ausgleichspolynomen vorkommen. Anscheinend hat das aber gar nichts damit zu tun, eher scheint man hier bei einer gegebenen Dichteverteilung seine Repräsentanten und Intervalle so zu wählen, dass die entsprechende Quantisierung einer Realisierung der Zufallsvariablen einen möglichst kleinen Fehler erzeugt. Gibt es hier noch weiteres Material, welches man sich ansehen kann?
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Kein Thema.
Ja, das kann natürlich passieren. Du hast ja hierfür auch ein wunderbares Beispiel gegeben. Das überbestimmte Gleichungssystem hat dann eine eindeutige Lösung, diese wird auch bspw. von (L)LSP-Lösern gefunden, aber A hat hier immer noch keine Inverse!
Ja, das Least-Squares bezieht sich aber nur darauf, dass man die 2-Norm des Residuums im Quadrat minimiert. Das mit der Dichteverteilung klingt richtig, aber da bin ich leider nicht wirklich fit auf dem Gebiet (C4 ist dann doch schon wieder ein bisschen her …) um da eine 100%-ige Sicherheit zu geben.
Zum zusätzlichen Material: Das folgende sind Links, welche ich für meine Übungsgruppe herausgesucht habe, und welche meistens noch ein bisschen über den Vorlesungsstoff herauszielen. Sie sind auf alle Fälle interessant, und die Folien der Université de Technologie de Compiègne betrachten (L)LSPs auch im statistischen Sinne:
• Ein Online-Artikel über das Least-Squares-Problem und die verschiedenen Lösungsmethoden. Behandelt aber auch Stoff, welchen wir nicht in der Vorlesung/Übung behandelt haben.
• Vorlesungsfolien des Kurses MATH3795 an der University of Connecticut über die Lösbarkeit des LSP mittels QR-Zerlegungen.
• Vorlesungsnotizen der Kent State University über Least-Squares-Probleme. Bietet viele interessante Beispiele und Aufgaben.
• Vorlesungsfolien der Université de Technologie de Compiègne über Least-Squares-Fitting von einem statistischen Standpunkt aus. Macht vor allem den Unterschied zwischen Linearen und Nicht-Linearen LSP deutlich.
• Online Erklärung zu LSP und der QR-Faktorisierung. Geht vor allem auf die Lösung mittels QR-Faktorisierung ein.
Für die Klausur reicht jedoch das aus, was in Übungen und Vorlesung gemacht wurde. Hier im Zusammenhang wäre das noch die Moore-Penrose-Pseudoinverse. Ich hoffe ich konnte helfen.
Ok, dann danke für die ausführlichen Antworten.
Falls noch was aufkommt, melde ich mich nochmal in diesem Thread. : )