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Frage Blatt8 Aufgabe 2 c) und so
Hallo zusammen,
hab ein paar Fragen zur SVD generell und Aufgabe 2c) Blatt8.
Vllt ist ja jemand auf ähnliches gestoßen.
Kann sein, dass ich nur etwas in den Folien übersehen habe oder auf dem Schlauch stehe.
Frage 1:
Bei der SVD ist mir eine Sache vor allem nicht ganz klar und zwar zerlegt man ja standardmäßig zu
A = USV^T
dabei ist völlig ersichtlich wie sich die Werte in S und V ergeben, aber bei der Komposition von U hakt es etwas. V besteht ja aus den Eigenvektoren von A^TA und S aus den Wurzeln der Eigenwerte von A^TA in absteigender Reihenfolge geordnet.
Es gilt die Beziehung: u_i = 1/sigma_i * A * v_i (z.B. Kapitel 13 folie 45) (*)
Woraus man die Vektoren von U bekommt, und hier liegt mein Problem:
Welche Möglichkeiten gibt es (wäre gut wenn du einige vllt sogar alle unterschiedlihcen Wege angeben könntest) die fehlenden Vektoren von U zu bekommen, die man nicht über die obige Beziehung () ermitteln kann, wenn der Rang von A^TA kleiner ist als die Spaltenanzahl von U?
Ich habe wege gesehen wie das Gram-Schmidt verfahren, oder Kreuzprodukt, Skalarprodukt im Fall dass man im R^3 ist. Aber was ist wenn nicht nur ein Vektor fehlt oder man in höheren Dimensionen unterwegs ist?
Wie z.B. sei
A (4x2) dann folgt U ist (4x4), S ist (4x2) und V^T ist (2x2)
sagen wir ich bekomme 2 Eigenwerte, kann also 2 Eigenvektoren ermitteln, also hätte ich alle Singulärwerte und die Matrix V ermittelt. Jetzt kann ich zwei Vektoren für U über die obige Beziehung ermitteln, wie komme ich aber an die restlichen Vektoren um U ganz auszufüllen?
Frage 2: Speziell zur Hausaufgabe auf Blatt 8 2c):
Frage 2.1: Hier muss man doch eine SVD durchführen um A^~1 überhaupt benutzen zu können richtig?
Frage 2.2: Dann hätte man genau auch das Problem, dass ich oben beschrieben habe ja?
Vielen Dank in Voraus
Grüße
[quote=Haba_DibiDu_]Frage 1:
Bei der SVD ist mir eine Sache vor allem nicht ganz klar und zwar zerlegt man ja standardmäßig zu
A = USV^T
dabei ist völlig ersichtlich wie sich die Werte in S und V ergeben, aber bei der Komposition von U hakt es etwas. V besteht ja aus den Eigenvektoren von A^TA und S aus den Wurzeln der Eigenwerte von A^TA in absteigender Reihenfolge geordnet.[/Quote]
U besteht aus den Eigenvektoren von (A A^T). Übrigens stimmen die Eigenwerte von (A^T A) und (A A^T) überein, siehe z. B. linear algebra - Non-zero eigenvalues of $AA^T$ and $A^TA$ - Mathematics Stack Exchange. Außerdem sind beide Matrizen positiv semi-definit (da Produkt von Transponierte und Matrix selbst).
U muss allgemein eine orthogonale Matrix (im reellen Fall) sein. Wenn du bereits die Spalten {u_1, … u_{n-2}} hast und dir 2 Vektoren fehlen, dann weißt du, dass du u_{n-1} und u_{n} als Orthonormalbasis des Orthogonalkomplement von span{u_1, …, u_{n-2}} wählen musst.
Das sollte i. Allg. ein unterbestimmtes Problem sein. Stell dir vor, dass du 0 Vektoren hast und im R^2 etwa noch zwei andere fehlen. Dann kannst du (1, 0) und (0, 1) nehmen oder auch (1, 1) und (1, -1), jeweils normiert. Diese Basis des Restraums zu finden, ist nicht das Problem. Dafür kannst du etwa eine beliebige Basis nehmen (sollte konstruktiv möglich sein, da endlich dimensional) und diese mittels Gram-Schmidt orthonormalisieren. Das Problem ist, dass du nicht weißt, ob die so erhaltenen Vektoren tatsächlich Eigenvektoren von (A A^T) sind.
Wenn v Eigenvektor von (A^T A) ist, dann gibt es a, sodass (A^T A)v = av. Durch Linksmultiplikation mit A folgt: (A A^T) Av = a (Av), d.h. Av ist ein Eigenvektor von (A A^T).
D. h. wenn du alle Eigenvektoren aus V hast und du Glück hast, dass die jeweiligen Av_i nicht linear abhängig sind, hast du alle Eigenvektoren von U gefunden.
Zu den anderen Fragen kann ich dir leider nichts sagen, da ich das Angabenblatt nicht kenne.