Übungsblatt 3 Aufgabe 9

system · 31. Oktober 2014 um 09:42

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sibar · 31. Oktober 2014 um 09:42

Übungsblatt 3 Aufgabe 9
Hallo,

ich habe ne Frage zu der H9 vom 3. Übungsblatt. Und zwar wird da eine Äquivalenzklasse mit (0,0) gegeben. Wie ist das denn zu verstehen? Setze ich dann für x1 und y1 jeweils 0 ein und x2 und y2 sind dann die veränderlichen Werte?
Oder muss ich davon ausgehen, das (x1, y1) auf 0 abgebildet werden soll? Und genauso (x2, y2)? Womit die angegebene Klasse eine Menge mit genau dem Ursprung als Element ergeben würde?

Vielen Dank schon mal im Voraus.

frececroka · 31. Oktober 2014 um 19:55

Die Äquvivalenzklasse $[(0, 0)]_{*}$ ist für eine Äquvivalenzrelation $*$ folgendermaßen definiert:

$[(0, 0)]_{*} = \{(a, b): (a, b) * (0, 0)\}$

Oder in Worten: Die Menge aller Paare $(a, b)$ die zu $(0, 0)$ in Relation stehen.

Wenn du die Definition der Relation hier einsetzt, bekommst du folgende Menge:

$[(0, 0)]_{*} = \{(a, b): 6a+3b = 6*0 + 3*0\}$

Oder vereinfacht:

$[(0, 0)]_{*} = \{(a, b): 2a+b = 0\}$

Wenn du diese Äquvivalenzklasse graphisch darstellen willst, musst du alle Punkte $(x, y)$ mit $(x, y) \in [(0, 0)]_{*}$ finden und in dein Koordinatensystem eintragen.

sibar · 31. Oktober 2014 um 21:04

ah, ok. Vielen Dank

Vany · 1. November 2014 um 16:04

Ich hätte auch noch eine Frage zur Aufgabe 9.
Und zwar:
So wie ich das zumindest verstanden habe, ist die Relation ja nur eine Ordnungsrelation, wenn k=0, sonst gilt ja zb. keine Reflexivität.
Dann wird ja gefragt, wieso die Ordnungsrelation keine mehr ist, wenn k=R gilt.
Das verwirrt mich, denn die Relation wäre ja für k=0 immer noch eine Ordnungsrelation. Hab ich da einen Denkfehler?
Ich komme da einfach nicht weiter
Danke schon mal im Voraus!

frececroka · 1. November 2014 um 16:47

$k$ ist in diesem Fall kein Parameter. Schau dir die Definition der Ordnungsrelation noch einmal an:

$a \sim b :\Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{N} \cup \{0\}: a(2k + 1) = b$

In Worten ausgedrückt heißt das, dass $a$ in Relation zu $b$ steht, wenn es eine ganze Zahl $k \geq 0$ gibt, sodass $a(2k + 1) = b$ ist. $k$ ist kein Parameter! Stattdessen wird für zwei Zahlen $a$ und $b$ überprüft, ob ein passendes $k$ gefunden werden kann.

$7 \sim \7\ $da$\ 7 * (2 * 0 + 1) = 7$

$7 \sim \35\ $da$\ 7 * (2 * 2 + 1) = 35$

Das heißt, 7 steht sowohl zu sich selber als auch zu 35 in Relation, da in beiden Fällen ein passendes $k$ existiert. Im ersten Fall ist $k = 0$ und im zweiten Fall ist $k = 2$ .

Wenn die Relation nicht reflexiv wäre, könntest du eine Zahl $x$ finden, für die $x \sim x$ nicht gilt. Allerdings ist die gegebene Relation auch auf der Menge $\mathbb{Z}$ mit $k \in \mathbb{Z}$ reflexiv. Teste lieber, ob die Relation für die ganzen Zahlen auch antisymmetrisch ist.