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Lösungsversuch Klausur 7. Okt 2013
Hier mein Lösungsvorschlag für die Klausur aus dem SS13:
Habe bisher nur die A1 und A4, die anderen folgen noch:
A1)
Regulärer Würfel vier mal werfen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mind. eine 3 P(A) unter der Bedingung, dass mind. eine 6 P(B)dabei ist, geworfen wird.
Also gesucht P(A|B) = P(A \cap B) / P(B)
P(B) = 1-P(\neg B) = 671 / 1296 = |B| / |\Omega|
P(A|B) = 1-P(\neg A| B)
Folgende Möglichkeiten gibt es, wobei x für eine Zahl zwischen 1 und 6 ohne 3 steht.
(x,6,6,6) (x,x,6,6) (x,x,x,6)
(6,x,6,6) (x,6,x,6) (x,x,6,x)
(6,6,x,6) (6,x,x,6) (x,6,x,x)
(6,6,6,x) (6,x,6,x) (6,x,x,x)
(6,6,x,x)
45 + 5 25 + 4*125 = 645 = |\neg A \cap B| also Möglichkeiten mind. eine 6 zu würfeln, aber keine 3.
Damit P(A|B) = 1- |\neg A \cap B|/|B| = 0,04
Leider keine Ahnung, ob das ein richtiger Ansatz ist…
A4)
Übergangsmatrix ausfüllen
( 4/6 1/6 1/6 )
( 1/3 1/2 1/6 )
( 1/3 1/3 1/3 )
Gleichgewichtsverteilung
(P^T - E) *\pi = 0 wobei E die Einheitsmatrix und \pi die Gleichgewichtsverteilung ist
Mit Gauß Magic ergibt sich dann, dass \pi_3 frei ist, da habe ich 1 gewählt, womit sich für den Rest folgendes ergibt:
\pi = c *(3 + 3/2 + 1) =1, da alle Eintrage größer gleich 0 sein sollen und die Summe soll 1 ergeben.
Damit ist c= 2/11 womit sich die folgende Gleichgewichtsverteilung ergibt:
\pi = (6/11 , 3/11 , 2/11)
Hier bin ich mir relativ sicher, dass es richtig ist.
Edit A2)
Danke shock_gone_wild, habe mich bei der Gauß Magic verrechnet
Man kommt trotzdem darauf, dass \pi_3 frei ist, um auf gleichen Werte wie shock_gone_wild zu kommen, wählt man \pi_3 gleich 4, womit sich folgendes ergibt:
\pi = c*(10+6+4)=1
Also genau \pi^T= (1/2 , 3/10, 1/5)
A2)
Dichte der Verteilung der Zufallsvariablen Y1=X1X2 und Y2=X2
X1 und X2 sind stochastisch unabhängig
X1 uniform verteilt im Intervall (0,1)
X2 exponentiell verteilt mit Parameter \lambda=1
Dichtefunktion für Exponentialverteilung:
f1(x)= 0 x<= 0
\lambda exp(-\lambda x) x>0
Also Dichte von Y2 gleich exp(-x)
Dichtefunktion für uniform Verteilung
f2(x) = 0 x<a
1/b-a a<= x <= b
0 x>b
Also Dichte von X1 gleich 1
Da X1 und X2 stochastisch unabhängig ist die Dichte f(X1X2)=f2(X1) * f1(X2) = 1* exp(-x) = exp(-x) (Seite 72 unten aus dem Skript)
Bist du dir bei A2 sicher, dass das so einfach geht? Mir kommt das irgendwie arg simpel vor, kann jetzt aber dummerweise auch keinen Alternativvorschlag einbringen 
Ich bin mir auch nicht sicher, aber was der Aufgabe recht nahe kommt ist in handout11.pdf der Transformationssatz. Da ist ab Seite 11.26 eine recht umfangreiche Übungsaufgabe mit ausführlicher Anleitung für ein ähnliches Problem.
Da wird das Problem für die Addition bzw. Division gezeigt, da kann man den Transformationssatz anwenden.
Ab 11.31 sieht man das Beispiel mit der Multiplikation und da kann man aus Gründen den Transformationssatz nicht anwenden. Da wird dann auch die stochastische Unabhängigkeit genutzt, wodurch sich die Dichte f(x1,x2)=f1(x1)*f2(x2) eben so einfach berechnen lässt.
Ich bin mir da gar nicht so sicher… P^T * \pi muesste dann wieder \pi ergeben. Tut es aber bei deiner Loesung nicht.
Richtig in meinen Augen ist: \pi^T= (1/2 , 3/10, 1/5)
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A3)
Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses (X2>2X1), wenn X1 und X2 stochastisch unabhängig und exponentiell verteilt mit Parameter \lambda1 = 1 \lambda2=2
Das habe ich so quasi 1 zu 1 im Handout 10 Seite 28 gefunden, da wird das mit (X1<X2) gerechnet, die einzige Änderung ist also, dass man noch eine 2 einfügt bei X1
f(t) sei die Dichte
F(t) sei die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung mit Parameter \lambda
\int_a^b f(x) sei Integral von a bis b über f(x)
\int_-\infty^\infty 2f1(t) * (1-F2(t)) dt
\int_0^\infty 2 \lambda1 exp(-\lambda1 * t) exp(-\lambda2 t) dt
2* \lambda1(\lambda1 + \lambda2) * \int_0^\infty (\lambda1+\lambda2)exp(-(\lambda1+\lambda2)t) dt
Der Intergrand ist die Dichte der Exponentialverteilung mit Parameter \lambda1+\lambda2, hat also Wert (Handout 9.13)
Damit:
P(X2>2*X1) = 2 * 1/(1+2) = 2/3
Warum \pi_3 waehlen? Du „raetst“ dann ja quasi den richtigen Wert.
Setze doch einfach \pi_3 = \lambda (halt variabel einfach)
dann kommt nach Gauss raus:
\pi = \lambda(5/2 , 3/2, 1)^T
\lambda kannst du berechnen durch \lambda(5/2 + 3/2 + 1) = 1 → \lambda = 1/5
==> \pi = 1/5(5/2 , 3/2, 1)^T => \pi = (1/2 , 3/10 , 1/5)^T
Wie kommt man bitte von 1. auf 2.?
Wie das mit den Grenzen geht ist soweit klar, man erzeugt zwei integrale in einer Summe und lässt -\inf bis 0 gegen 0 laufen.
Aber wie kriegt man aus 2*f1(t) * ( 1 - F2(t)) ein Produkt ? Ist das nicht eine Summe ?
Gibt es eine Regel oder wieso ist es so wichtig, die Parameter \lambda1+\lambda2 innerhalb des Integrals mit (\lambda1+\lambda2) / ( \lambda1+\lambda2) zu erzeugen und dann partiell auszuklammern?
Unsere Lösung zu A1
Attachment:
image.pdf: https://fsi.cs.fau.de/unb-attachments/post_130235/image.pdf
Muesste die 16 nicht ne 14 sein? 4+4+6 = 14 
Ansonsten schauts sehr gut aus!
Ich hätte noch eine dritte Variante für A1 anzubieten:
A = min eine 3
B = min eine 6
gesucht P(A|B) = P(AnB)/P(B)
P(B) = 1 - P(~B) = 1 - P(keine 6) = 1 - (5/6)^4 = 1 - 625/1296
P(AnB) = 1 - P(~(AnB))
= 1 - P(~Au~B)
= 1 - P(~A) - P(~B) + P(~An~B)
= 1 - P(keine 3) - P(keine 6) + P(weder 3 noch 6)
= 1 - (5/6)^4 - (5/6)^4 + (4/6)^4
= 1 - 994/1296
P(A|B) = (1 - 994/1296)/(1 - 625/1296) = 302/671 = 0.45
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Da es hier drei Varianten mit drei verschiedenen Ergebnissen gibt: Deine Variante liefert auch bei der Uebungsaufgabe mit drei Wuerfen das korrekte Ergebnis, scheint also richtig zu sein. (Und kommt ohne nervige Fallbetrachtungen aus. ;))
(1-F(t)) = (1-1+exp(-\lambda t)) = (exp(-\lambda t))
Also einfach Verteilungsfunktion eingesetzt.
Ich denke das wird gemacht, damit der Integrand eben wieder eine Verteilungsfunktion, weil man für die direkt sagen kann, dass ihr Integral gegen unendlich den Wert 1 hat.
Zumindenst so habe ich das verstanden.
Ich kann die Loesung von fudd bestaetigen.
Bei den Fallunterscheidungen wurde ein Fehler beim Fall 3,6,x,y = 288 gemacht.
Die richtige Rechnung lautet 6 * 4! Es gibt nur 6 Moeglichkeiten fuer x,y sodass Faelle wie x=2 , y = 1 und x=1, y =2 nicht mit einbezogen werden.
Diese werden ja schon durch das 4! abgedeckt.
Also Definitiv in der Klausur leichter mit Gegenwahrscheinlichkeiten zu arbeiten 
Warum muss man P(weder 3 noch 6) dazu addieren? Das ist doch eigentlich auch eine Kombination,
die man nicht haben will und die man deshalb von der 1 abziehen müsste, oder sehe ich das falsch?
EDIT: Hat sich wahrscheinlich schon erledigt: Da in P(keine 3) auch der Fall P(keine 6) vorkommt und umgekehrt, muss man das wieder dazuaddieren.
Der Vektor ist aber nicht normiert. Laut Skript suchen wir einen Vektor u mit ||u|| = 1 der die Gleichung u = P^T * u erfüllt. Zweitens tut der Vektor zwar, nicht aber die Norm: sqrt( (1/2)^2 + (3/10)^2 + (1/5)^2 ) = 0,616…
Richtig wäre also meiner Meinung nach eigentlich der Vektor sqrt( 0.38 ) * (1/2 , 3/10, 1/5)^T
Ich würde behaupten, der entscheidende Unterschied zwischen den beiden Beispielen ist nicht, dass einmal Addition und Division vorkommen und beim anderen Multiplikation, sondern dass das erste Beispiel von R^2 nach R^2 abbildet und das zweite Beispiel von R^2 nach R^1 abbildet. Im zweiten Fall muss man sich sowas wie Y2=X2 dazubasteln und am Ende die erste Marginaldichte als Dichte der Verteilung nehmen. In der Aufgabe der Altklausur ist dieses Y2 aber schon gegeben, weshalb man den Transformationssatz normal anwenden können sollte. (So hab ich das jetzt verstanden, bitte korrigiert mich,falls ich mich irre)
Muss man nicht auch noch die Funktionaldeterminante berechnen? um dann f(G*(y))+1/J(G*(y)) ausrechnen zu können?