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(Klausur: 02.04.2012) Basis von Bild(A) bestimmen
Hi zusammen,
ich bin durch diese Aufgabenstellung total verwirrt.
Die Aufgabe lautet wie folgt:
a) Sei k e R ein Parameter und
Matrix A:
1 2 3
2 2 4k
0 1 k
Bestimmen Sie für alle k e R eine Basis von Bild(A).
Klausur vom 02.04.2012 Aufgabe A4 a)Ich hätte jetzt einfach zuerst einmal ganz stupide den Kern berechnet.
Damit käme nach ein paar mal gaussen das raus:
1 2 3
0 -2 4k-6
0 0 6k-6Jetzt könnte man noch eine Fallunterscheidung machen wenn k=6 und wenn nicht und dann das GLS lösen, aber muss ich das in der Aufgabe überhaupt?
Liege ich mit meiner Vermutung richtig, wenn ich sage, dass die Basis wie folgt aussieht:
v1 = (1,0,0)T
v2 = (2,-2,0)T
v3 = (3,4k-6,6k-6)T
B = (v1,v2,v3)also ich hab das so
1 2 3
2 2 4
0 1 k
1 2 3
1 1 2k
0 1 k
1 2 3
1 -1 0
0 1 k
1 2 3
0 -3 -3
0 1 k
1 -1 0
0 1 1
0 1 k
1 -1 0
0 1 1
0 0 k-1
die Basis vom Bild sind alle Stufenspalten
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das mit der Fallunterscheidung kann ich dir allerdings auch nicht sagen.
könnte man aber ja leicht machen, aber den kern musst du eigentlich nicht berechnen
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[quote=[hedgehogs dilemma = 42]]
das mit der Fallunterscheidung kann ich dir allerdings auch nicht sagen.
könnte man aber ja leicht machen, aber den kern musst du eigentlich nicht berechnen
[/quote]
Alles klar, danke. 
Ja das mit der Fallunterscheidung müsste man so machen, wenn man den Kern für diese Aufgabe bräuchte, aber das tut man ja nicht.
Danke dir für den Hinweis
Ich hab die Umformung genauso und habe dann unterschieden, wenn k = 6 ist, dann sind eben nur die ersten zwei Vektoren die Basis des Bildes und für alle anderen k sind’s alle drei.
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[quote=[hedgehogs dilemma = 42]]
das mit der Fallunterscheidung kann ich dir allerdings auch nicht sagen.
könnte man aber ja leicht machen, aber den kern musst du eigentlich nicht berechnen
[/quote]
Nur um das noch einmal zu festigen, die Basis des Bildes von dieser (ausgedachten) Matrix wäre dann:
Matrix:
1 0 1 0
0 2 3 4
0 0 1 1
Basis:
v1=(1,0,0)T
v2=(0,2,0)T
v3=(1,3,1)T
B = (v1,v2,v3)Stimmt doch so oder?
Ja
Basis des Bilds = Stufenspalten
Basis des Kerns = nicht Stufenspalten beim Gauß-Jordan Verfahren <=> Lsg. des homogenen LGS
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1 0 1 0
0 2 3 4
0 0 1 1
Gauß-Jordan:
II - 3 III
1 0 1 0
0 2 0 1
0 0 1 1
II / 2
1 0 1 0
0 1 0 1/2
0 0 1 1
I - III
1 0 0 -1
0 1 0 1/2
0 0 1 1
Einfügen “0” Zeile in letzter Zeile
1 0 0 -1
0 1 0 1/2
0 0 1 1
0 0 0 0
Kern ist dann: (-1, 1/2, 1, -1)T = (-2, 1, 2, -2)T
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die Frage ist halt.
ob die Fallunterscheidung notwendig ist, weil diese ja hier die Stufenspalten ändert wie “lemur” ja meinte.
Bei meiner LSG würde die letzte Stufe verschwinden wenn k = 1 ist
also
Fall k = 1 => Bild = v1 und v2
Fall k != 1 => Bild = v1, v2 und v3
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