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Lösung für Induktion
hat jemand eine Lösung für die Induktion anbei?
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Ich bin schon etwas aus der Übung; denke aber so sollte es gehen:
Induktionsanfang: n = 1: 1*1 = 2-1 = 1 (passt)
Induktionsannahme: \sum_\limits{k=1}^{2n-1} k\cdot k! = (2n)! - 1
Induktionsschritt n-> n+1:
\sum_\limits_{k=1}^{2(n+1)-1} k \cdot k! = \sum_\limits_{k=1}^{2n-1} k \cdot k! + (2n)\cdot(2n)! + (2n+1)\cdot(2n+1)!
= (Induktionsannahme!)
= (2n)! - 1 + (2n)\cdot(2n)! + (2n+1)\cdot(2n+1)!
= (2n)! - 1 + (2n)!\cdot(2n + (2n+1)^2)
= (2n)! - 1 + (2n)!\cdot(2n + 4n^2 + 4n + 1)
= (2n)!\cdot(1 + 2n + 4n^2 + 4n + 1) - 1
= (2n)!\cdot(4n^2 + 6n + 2) - 1
= (2n)!\cdot(2n+1)\cdot(2n+2) - 1
= (2(n+1))! - 1
vielen dank für die schnelle Antwort.
kannst du noch den letzten Schritt erklären?
hat sich bei zeitem draufgucken erübrigt.
2n! * (2n+1) = (2n+1)!
(2n+1)! * (2n+2) = (2n+2)!
(2n+2)! = (2(n+1))!
vielen dank nochmal