Topologie 10 ECTS Prüfung 2019-08-01

• Subject: Topologie 10 ECTS, SS 2019
• Date: 2019-08-01
• Type of Exam: mündliche Prüfung
• Examiner: Prof. Dr. Karl-Hermann Neeb, Prof. Dr. Catherine Meusburger (Prüfung war etwa 50/50 geteilt unter den Prüfern)
• Grade: 1.0
• Undergone Preparation:
• Evaluation
  • Sehr faire Prüfung. Selbst wenn mensch Fehler macht (z. B. Initial- und Finaltopologie verwechselt) oder sehr weiterführende Fragen nicht vollständig oder nur mit Hilfe beantworten kann, kann mensch eine 1.0 erreichen.
  • Es empfiehlt sich sehr stark, immer den Gedankengang laut zu erzählen; und auch Motivation für Konzepte der Topologie zu erzählen, warum etwas wie gemacht oder eingeführt wurde (zB. warum haben wir den Abbildungsgrad überhaupt definiert?)

Geprüft von Prof. Dr. Karl-Hermann Neeb.

• Fangen wir mit Finaltopologien an. Was sind die? Welche Daten brauche ich?

• Welche Finaltopologien kennen Sie?

> * Koprodukte: Das ist die Topologie auf dem Koprodukt in Set beider Grundmengen mit der derjenigen Topologie, sodass eine Menge darin offen ist gdw. der Schnitt mit den einzelnen Mengen („Kofaktormengen“ ←- meine Erfindung) offen war in den jeweiligen Kofaktortopologien.

* Quotiententopologien: Habe skizziert, wie man Torus, Möbiusband und Klein'sche Flasche aus [0,1] x [0,1] mittels Quotientierung konstruiert.

• Betrachten wir mal den abgeschlossenen Einheitsball (Anm.: cl(B_1(0)) in R^n). Was passiert, wenn wir den Rand kollabieren?

Ist das nicht einfach das Attachen einer n-Zelle an einen Ein-Punkt-Raum?

> S^(n-1) ---> {*}
>  |           |
>  v         . v
>  D^n    --->  S^n
> 

e.g. wenn man Rand von D² kollabiert, so kommt S² (3d-Kugel) raus.

• Ja, so kann man das auch sehen. Eine andere Sichtweise ist es, das Innere zu ein-punkt-kompaktifizieren. Können Sie dazu was sagen?

Wir haben gesehen, dass man lokalkompakte Hausdorffräume zu kompakten Hausdorffräumen kompaktifizieren kann. Konkret fügen wir einen arbiträres neues Element hinzu (Anm.: das ist Koprodukt mit ein-elementiger Menge in Set).
Als Topologie nehmen wir die ursprüngliche + diejenigen Mengen von dem einen Punkt aus, sodass deren Komplement kompakt ist.
Mir gefällt die Riemannsche Zahlensphäre. *Male die als 3D-Kugel hin mit Punkt auf Nordpol und Kreis auf Oberfläche darum* Die gemalte Menge ist offen gdw. Komplement kompakt ist.

• Wenn die Komplement von jeweils einem Punkt in zwei Räumen homöomorph sind, sind dann auch die Räume homöomorph?

> Was für Komplemente genau?

• Also man hat X und Y und dann X\{x} und Y\{y}. Wenn die letzten zwei homöomorph sind, was können wir über X und Y aussagen?

> Ah ja, das war dieser Satz in der VL, dass dann X und Y homöomorph sind. (Anm.: Wohlgemerkt unter bestimmten Einschränkungen! Glaube Kompaktheit von X und Y)

In diesem Sinne sind Ein-Punkt-Kompaktifizierungen eindeutig.

Geprüft von Prof. Dr. Catherine Meusbuger.

• Was ist der Abbildungsgrad?

*bisschen viel erzählt:* Wir wollten Endowege [0,1] → S¹ kategorisieren (Anm.: Endowege sind mein Begriff für Wege, wo Start- = Endpunkt). Dazu haben wir sie mit Morphismen S¹ → S¹ (Anm.: in Top) identifiziert. Um die leichter handhab zu machen, haben wir mit Hilfe
von Überlagerungstheorie sie geliftet auf Hochhebungen R → R, sodass *skizziertes Quadrat* kommutiert.
Das Nette daran ist, dass die Hochhebungen in der Winkeldomäne sind und wir daher den Abbildungsgrad einfach als deg(f) := \tilde{f}(1) - \tilde{f}(0) definieren können.

• Sind Hochhebungen eindeutig?

Nein, aber eindeutig bis auf additive Konstante ⇒ Abbildungsgrad wohldefiniert

• Können Sie mir eine Abbildung geben, die Grad 10 hat?

Def. g: S¹ → S¹, g(z) := z^(10) (Als Exponentiation in C zu verstehen)
Dann ist Hochhebung \tilde{g}: R → R, \tilde{g}(t) := 10 * t

Wir sehen dass Exponentiation in ursprünglicher S^1-Domain zu Multiplikation in Winkeldomäne wird.

• Wozu haben wir dann das Ganze genutzt?

Wir haben also deg(.) definiert auf S¹ → S¹, also auch auf Endowegen [0,1] → S¹. Man kann nun die Gruppe mit Wegen unter der Homotopierelation nehmen, wo Multiplikation Konkatenation ist.
Und die Gruppe Z mit Addition. Jetzt ist deg(.) darauf ein Gruppenisomorphismus.

• War es erforderlich, dass wir die Gruppe der Wege unter der Homotopierelation gesehen haben?

Ja, sonst wäre das neutrale Element nicht eindeutig. (Anm.: e.g. sei e der triviale Weg, der auf dem Punkt sitzen bleibt. Dann wäre e \ast e != e)

• Was sind zwei Räume homotopieäquivalent?

Wenn Morphismen f: X → Y, g: Y → X in Top existieren, sodass f \circ g und g \circ f jeweils homotop zu den jeweiligen Identitätsfunktionen sind.
Das bedeutet, dass Homotopien existieren, bspw. für f \circ g, dass \exists h: [0,1] x Y → Y, die stetig ist, sodass h(0, -) = f \circ g, h(1, -) = id_Y

• Wie kann man zeigen, dass zwei Räume *nicht* homotopieäquivalent sind?

Z. B. indem man zeigt, dass sie unterschiedliche Fundamentalgruppen haben.

• Betrachten Sie folgenden Raum, wo zu den Ecken hin identifziert wird. Außerdem nehmen wir 3 Punkte aus dem Inneren heraus.
• 
• Haben Sie einen Vermutung über die Fundamentalgruppe? Wie würden Sie das angehen?

Also im Inneren haben wir ein 3-Bouqet, also freie Gruppe F_3 mit 3 Erzeugern. Wahrscheinlich im Ganzen also F_3 unter einem Normalteiler.
Ich würde mit Seifert-van-Kampen U_1, U_2 offen so wählen, dass U_1 ein offener Kreis im Inneren und U_2 alles bis auf das Zentrum von U_1.

Dann wäre Fundamentalgruppe von U_1 trivial, die von U_1 \cap U_2 wäre Z. U_1, U_1 \cap U_2, U_2 sind alle wegzshg., da U_1 trivial homöomorph zu interior(D²), U_2 war ohne Relation wegzshg., dann auch unter der Relation (stetige Abb. erhalten Wegzshg.)
U_1 \cap U_2 ist dann auch wegzshg.

*malt Pushout Diagramm*
Wir erhalten also F_3/N, wobei N halt der Normalteiler ist aus dem Diagramm.

• *malt einen Kreis um die 3 Punkte aus dem Inneren, der den Rand des Quadrats nicht schneidet* Ist dieser Kreis im ganzen Raum zusammenziehbar?

Hmhmhm, ich kann mir das schwer visualisieren mit dieser Relation. Ist das nicht *nimmt A4 Papier und faltet*?

• Was passiert, wenn sie an oberer Kante rausgehen?

Ah, dann komm ich links raus. D.h. ich könnte die Schleife um die 3 Punkte oben rausziehen und hab sie dann links. Dann ist es zusammenziehbar!

• Genau. Was ist nun die Fundamentalgruppe?

Puh, weiter als F_3/N komme ich nicht.

• Das wäre F_2, das sieht man wie folgt *skizziert Argumentation*. Aber alles gut, ist in Ordnung, dass Sie das nicht ad-hoc wussten.