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 ====== Topologie 10 ECTS Prüfung 2019-08-01 ====== ====== Topologie 10 ECTS Prüfung 2019-08-01 ======
  
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 ===== Meta Information ===== ===== Meta Information =====
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   * Examiner: Prof. Dr. Karl-Hermann Neeb, Prof. Dr. Catherine Meusburger (Prüfung war etwa 50/50 geteilt unter den Prüfern)   * Examiner: Prof. Dr. Karl-Hermann Neeb, Prof. Dr. Catherine Meusburger (Prüfung war etwa 50/50 geteilt unter den Prüfern)
   * Grade: 1.0   * Grade: 1.0
-  * Undergone Preparation: 
-    *  
   * Evaluation   * Evaluation
     * Sehr faire Prüfung. Selbst wenn mensch Fehler macht (z. B. Initial- und Finaltopologie verwechselt) oder sehr weiterführende Fragen nicht vollständig oder nur mit Hilfe beantworten kann, kann mensch eine 1.0 erreichen.     * Sehr faire Prüfung. Selbst wenn mensch Fehler macht (z. B. Initial- und Finaltopologie verwechselt) oder sehr weiterführende Fragen nicht vollständig oder nur mit Hilfe beantworten kann, kann mensch eine 1.0 erreichen.
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 > Ist das nicht einfach das Attachen einer n-Zelle an einen Ein-Punkt-Raum? > Ist das nicht einfach das Attachen einer n-Zelle an einen Ein-Punkt-Raum?
 > <code> > <code>
-> S^(n-1) ---> {*} +S^(n-1) ---> {*} 
->  |           | +|           | 
->  v         . v +v         . v 
->  D^n    --->  S^n +D^n    --->  S^n 
-> </code>+</code>
 > e.g. wenn man Rand von D² kollabiert, so kommt S² (3d-Kugel) raus. > e.g. wenn man Rand von D² kollabiert, so kommt S² (3d-Kugel) raus.
  
   * Ja, so kann man das auch sehen. Eine andere Sichtweise ist es, das Innere zu ein-punkt-kompaktifizieren. Können Sie dazu was sagen?   * Ja, so kann man das auch sehen. Eine andere Sichtweise ist es, das Innere zu ein-punkt-kompaktifizieren. Können Sie dazu was sagen?
 +
 > Wir haben gesehen, dass man lokalkompakte Hausdorffräume zu kompakten Hausdorffräumen kompaktifizieren kann. Konkret fügen wir einen arbiträres neues Element hinzu (Anm.: das ist Koprodukt mit ein-elementiger Menge in Set). > Wir haben gesehen, dass man lokalkompakte Hausdorffräume zu kompakten Hausdorffräumen kompaktifizieren kann. Konkret fügen wir einen arbiträres neues Element hinzu (Anm.: das ist Koprodukt mit ein-elementiger Menge in Set).
 > Als Topologie nehmen wir die ursprüngliche + diejenigen Mengen von dem einen Punkt aus, sodass deren Komplement kompakt ist. > Als Topologie nehmen wir die ursprüngliche + diejenigen Mengen von dem einen Punkt aus, sodass deren Komplement kompakt ist.
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 > Z. B. indem man zeigt, dass sie unterschiedliche Fundamentalgruppen haben. > Z. B. indem man zeigt, dass sie unterschiedliche Fundamentalgruppen haben.
  
-  * Betrachten Sie folgenden Raum, wo zu den Ecken hin identifziert wird. Außerdem nehmen wir 3 Punkte aus dem Inneren heraus. +  * Siehe Bild unten: Betrachten wir ein abgeschlossenes Rechteck im R^2 als topologischen Raum. Wir entfernen drei verschiedene Punkte aus dem Inneren. Außerdem identifizieren wir die gleichfarbigen Kanten. Zum Beispiel werden also die beiden gleichfarbigen Pfeilspitzen zu je einem einzigen Punkt identifziert. Haben Sie eine Vermutung über die Fundamentalgruppe des entstehenden topologischen Raums? Wie würden Sie das Problem angehen? 
- +  * {{ :pruefungen:nebenfach:mathematik:topo2019-08-01-topraum-fundamentalgruppen-frage.png?600 |}}
- ^<----| +
- |     | +
- ----->v +
- +
-  * Haben Sie einen Vermutung über die Fundamentalgruppe? Wie würden Sie das angehen?+
  
 > Also im Inneren haben wir ein 3-Bouqet, also freie Gruppe F_3 mit 3 Erzeugern. Wahrscheinlich im Ganzen also F_3 unter einem Normalteiler. > Also im Inneren haben wir ein 3-Bouqet, also freie Gruppe F_3 mit 3 Erzeugern. Wahrscheinlich im Ganzen also F_3 unter einem Normalteiler.
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   * Was passiert, wenn sie an oberer Kante rausgehen?   * Was passiert, wenn sie an oberer Kante rausgehen?
  
-> Ah, dann komm ich links raus. D.h. ich könnte die Schleife um die 3 Punkte oben rausziehen und hab sie dann links. +> Ah, dann komm ich links raus. D.h. ich könnte die Schleife um die 3 Punkte oben rausziehen und hab sie dann links. Dann ist es zusammenziehbar!
-    Dann ist es zusammenziehbar!+
  
   * Genau. Was ist nun die Fundamentalgruppe?   * Genau. Was ist nun die Fundamentalgruppe?