a) Zwei Augmentierungen nötig, z.B. s,1,3,t und s,2,4,t. Maximaler Flusswert 5, minimaler Schnitt W = {s,1,2,4}.

b) Eine Augmentierung nötig, mit negativem Kreis s,1,3,4,2,s.

a) x_1 … x_4: Anteil in Tonnen der Grundstoffe G_1 … G_4

(Die zweite Bedingung kann natürlich auch mit ≤ geschrieben werden, aber so ist es einfacher für die Dualisierung)

b)

c) Anscheinend war es nötig, hier eine Lösung ohne Simplex zu finden - in diesem Fall wäre das x*=(0,2.5,0,0). Die Aufgabe in der Prüfung war ähnlich, man musste einen einzelnen der Grundstoffe für die „Mischung“ verwenden. Dann kann man mit dem Satz des komplementären Schlupfs argumentieren: x*_2 > 0, also muss duale Ungleichung 2 exakt erfüllt werden. Ungleichungen 1, 3 und 4 sind strikt erfüllt, also sind y*_1, y*_3 und y*_4 = 0. Nun können wir also mit der 2. dualen Ungleichung (-100 y_2 = 200) die duale Lösung bestimmen: y* = (0,-2,0,0). Diese erfüllt alle dualen Ungleichungen, ist damit zulässig und laut dem Satz optimal.

a)

b) 1. Iteration:

• BTRAN: y = (0, -1)^T
• Pricing: z_N = (-1, 1)^T, x_2 betritt Basis
• FTRAN: w = (2, 3)^T
• Ratio-Test: γ = 1, x_3 verlässt Basis
• Update: x = (1,1,0,0)^T

2. Iteration:

• BTRAN: y = (-1/3, -1/3)^T
• Pricing: z_N = (1/3, 1/3)^T, Simplex terminiert

c) 1. Iteration:

• BTRAN: x_B = (3/2, -3/2)^T
• Pricing: x_4 verlässt Basis
• FTRAN: w = (-1/2, 1)^T, α_N = (3/2, 1/2)
• Ratio-Test: γ = 1/3, x_2 betritt Basis
• Update: z = (0,0,1/3,1/3)^T

2. Iteration:

• BTRAN: x_B = (1/3, 1/3)^T
• Pricing: Simplex terminiert

a)

b) Da der Graph einfach ist, kann es keine Schlingen oder parallele Kanten geben. Also sind die einzigen Kanten, die mit v und w inzident sind, e selbst und alle Kanten, die mit e einen Endknoten gemeinsam haben. Wir können die Anzahl der Kanten, die einen gemeinsamen Endknoten haben, über deg_G(v) + deg_G(w) erhalten. Dies zählt aber e selbst mit, weshalb 2 abgezogen wird.

c) Ein Graph ist eulersch genau dann wenn alle Knotengrade gerade sind. Da die Aussage aus b) für alle Knoten in K(G) gilt und deg_G(v) sowie deg_G(w) gerade sind, sind auch alle Knotengerade in K(G) gerade. Daher ist also K(G) auch eulersch.

d) Alle deg_G(v) können einen ungeraden Grad haben - dann ist G nicht eulersch, aber K(G) schon. Ein Gegenbeispiel ist beispielsweise K_4.

a)

b) Entspricht Übungsaufgabe 4 von Blatt 8 1-zu-1: Für das Kürzeste-Wege-Problem setzen wir alle Kantenkapazitäten auf 0, den Bedarf an s auf 1 und an t auf -1, alle anderen 0. Für das Maximalflussproblem bilden wir das Problem auf eine Zirkulation ab: alle Bedarfe sind 0 und eine Kante von t zu s wird eingeführt. Nun müssen nur noch die Kosten aller Kanten auf -1 gesetzt werden.

c) fancyB = 2_3_4_1_3_4_1_2_4_1_2_3, fancyC = {{1,2,3,4}}, fancyB* = 1_2_3_4, fancyC* = 1_2_1_3_1_4_2_3_2_4_3_4

d) falsch/wahr/falsch/wahr