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pruefungen:nebenfach:mathematik:elementarezahlentheorie-ws19-loesung [09.02.2021 16:17] – Marcel[Inf]pruefungen:nebenfach:mathematik:elementarezahlentheorie-ws19-loesung [14.02.2021 17:28] (aktuell) – Marcel[Inf]
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 Angabe: {{:pruefungen:nebenfach:mathematik:klausur_elementarezahlentheorie.pdf|Elementare Zahlentheorie}} Angabe: {{:pruefungen:nebenfach:mathematik:klausur_elementarezahlentheorie.pdf|Elementare Zahlentheorie}}
 +
 +====== Aufgabe 1 ======
 +
 +Euklidischer Algo:
 +<code>
 +98 362 = 6 * 15 878 + 3094
 +...
 +68 = 2 * 34 + 0
 +</code>
 +Also ist ggT der zwei Zahlen gerade 34, {{https://www.wolframalpha.com/input/?i=gcd%2898362%2C15878%29|WolframAlpha stimmt überein}}.
 +
 +====== Aufgabe 2 ======
 +
 +<code>
 +254 = 6 * 41 + 8
 + 41 = 5 *  8 + 1
 +  8 = 8 *  1 + 0
 +  
 +1 = 41 - 5*8 = 41 - 5*(254 - 6*41) = 31*41 - 5*254
 +</code>
 +
 +Daher ist 31 Inverses von 41 modulo 254.
  
 ====== Aufgabe 3 ====== ====== Aufgabe 3 ======
  
   * Es gilt: ''phi(13) = 13 - 1 = 12'' und  3 und 13 sind teilerfremd => Satz von Euler anwendbar   * Es gilt: ''phi(13) = 13 - 1 = 12'' und  3 und 13 sind teilerfremd => Satz von Euler anwendbar
-  * ''[3^{160}] = [3^{12*13} * 3^4] = [3^{12}]^{13} * [3^4] = [3^4] = [81] = [3]''+  * ''[3^{160}] = [3^{12*13} * 3^4] = [3^{12}]^{13} * [3^4] = [3^4] = [81] = [3]'' ({{https://www.wolframalpha.com/input/?i=%283%5E%28160%29%29+mod+13|WolframAlpha stimmt überein}})
   * Hier ist ''[.]: Z -> Z/(13Z)'' die kanonische Surjektion. In der EZT-Vorlesung wurde die mit overline typischerweise notiert.   * Hier ist ''[.]: Z -> Z/(13Z)'' die kanonische Surjektion. In der EZT-Vorlesung wurde die mit overline typischerweise notiert.
- +  * ''3^{160}'' hat bei Division durch 13 also den Rest 3.
-    +
  
 ====== Aufgabe 4 ====== ====== Aufgabe 4 ======
  
-  * Konstruiertes x nach Schema in der VL: x = 14 364 \equiv 1104 (mod 1105) +  * Konstruiertes x nach Schema in der VL: ''x = 14 364 ≡ 1104 (mod 1105)'' 
-  * L = 1104 + 1105ℤ+  * Lösungsmenge ist ''L = 1104 + 1105ℤ'' 
 + 
 +====== Aufgabe 5 ====== 
 + 
 +''2100_{10} = 6060_{7}'' 
 + 
 +{{https://www.wolframalpha.com/input/?i=2100+in+base+7|WolframAlpha stimmt überein.}} 
 + 
 +====== Aufgabe 6 ====== 
 + 
 +Zuerst vollständig kürzen. Dazu ggT von Zähler und Nenner berechnen, entweder per TR (wenn es euer TR kann) oder wie folgt manuell: 
 +<code> 
 +5525 = 3 * 1575 + 800 
 +1575 = 1 *  800 + 775 
 + 800 = 1 *  775 +  25 
 +</code> 
 + 
 +Vorzeitiger Abbruch, da ''ggT(5525, 1575) = ggT(775, 25) = 25'', letztere Gleichheit "abgelesen" (da 775 "offensichtlich" durch 25 teilbar)
  
 +Dann mittels TR kürzen:
 +<code>
 +1575       63
 +------ = -----
 +5525      221
 +</code>
 +Es gilt ''ggT(221, 10) = 1''. (Denn Teiler wie 2 oder 5 würde man an 221 an der letzten Ziffer erkennen.)
 +Daher hat der gegebene Bruch eine reinperiodische Dezimalbruchentwicklung (Satz 7.2 im Skript vom WS 20/21).