• https://fsi.informatik.uni-erlangen.de/forum/post/112045 - Aufgabe 4

a) Falsch, der finally-Block wird immer ausgeführt (abgesehen von einigen extrem konstruierten Ausnahmen, siehe hier)

b) Antwort RO ist richtig: Stark zusammenhängend

c) 2. Antwort ist richtig: Preorder

d) Richtig

e) Richtig, beispielsweise wenn sich die Werte für BucketSort eignen

f)

• f ist linear rekursiv
  

nach Definition ist eine Funktion genau dann linear rekursiv, wenn sie in jedem Zweig einer Fallunterscheidung höchstens einmal aufgerufen wird.
Bei Funktion f gilt:
Fall 1: Ist (x ⇐ 0) ∨ (x % 2 = 0), also für die Zahlen (…, -3, -2, -1, 0, 2, 4, 6, …), kommt es zu gar keinem rekursiven Funktionsaufruf.
Fall 2: Ist (x > 0) ∧ (x % 2 != 0) ∧ (x % 3 != 0), also für die Zahlen (1, 5, 7, 11, 13, …) wird x um eins inkrementiert und der Schleiferumpf erneut ausgeführt.
Da jetzt mit Sicherheit Fall 1 vorliegt, kommt es ebenfalls zu keinem rekursiven Funktionsaufruf.
Fall 3: Ist (x > 0) ∧ (x % 2 != 0) ∧ (x % 3 == 0), also für die Zahlen (3, 9, 15, …), kommt es zu einem rekursiven Aufruf f(x+1). Bei diesem Aufruf liegt mit Sicherheit Fall 1
vor, weshalb x = x + 1 gilt. Anschließend wird x um eins inkrementiert und wir sind garantiert im Fall 2, bei dem es zu keinem rekursiven Funktionsaufruf kommt. Damit ist gezeigt, dass f linear rekursiv ist.

• g ist iterativ
  

nach Definition ist eine Funktion f nur genau dann rekursiv, wenn zur Berechnung von f diese Funktion f benutzt wird.

g) Antwort RO und LU sind richtig

h) Falsch, dies ist die grundlegende AVL-Eigenschaft

a)

b)

Tiefensuche: S → A → C → E → D → B

Breitensuche: S → A → B → C → D → E

c)

Vorüberlegungen:
Die Aufgabenstellung ist das Färben eines Graphen mit den Farben schwarz und grau. Die Farbe weiß bedeutet lediglich, dass dieser Knoten noch gar nicht gefärbt wurde. Bei dem Verfahren soll Breitensuche verwendet werden.

Elementare Erkenntnis hierbei:
Hat ein Knoten zwei (oder mehr) Nachbarn, die verschiedene Farben haben, so kann der aktuelle Knoten nicht gefärbt werden, ohne dass er die gleiche Farbe wie mindestens ein Nachbarknoten erhält.
Das bedeutet: Hat ein Knoten mindestens einen Nachbarn, der grau ist und mindestens einen, der schwarz ist, so lässt sich der Graph nicht färben und das Verfahren soll mit dem Rückgabewert „false“ terminieren.

boolean color(Node v) {
	LinkedList<Node> q = new LinkedList<Node>();
	v.color = BLACK;
	q.addLast(v);
 
	// Solange es noch unbesuchte Knoten gibt
	while(!q.isEmpty()) {
		// Aktuellen Knoten aus der Queue entnehmen:
		// Dieser Knoten ist noch WHITE und soll nun korrekt gefärbt werden
		Node current = q.removeFirst();
 
		// Variable für die Farbe der Nachbarn, zunächst WHITE (d.h. uninitialisiert)
		Color neighborColor = WHITE;
 
		// Gehe alle Nachbarknoten einmal durch
		for(Node n : neighbors) {
 
			// Ist der aktuelle Nachbar WHITE, dann wurde er noch nicht besucht
			// -> Füge ihn der Queue hinzu
			if(n.color == WHITE) {
				q.addLast(n);
 
			// Ist der aktuelle Nachbar nicht WHITE, dann wurde er schon besucht
			// und ist entweder BLACK oder GRAY
			} else {
				// Ist die Variable für die Farbe der Nachbarn noch nicht gesetzt
				// (d.h. WHITE), dann initialisiere sie anhand des aktuellen Nachbarn
				if(neighborColor == WHITE)
					neighborColor = n.color;
 
				// Hat der aktuelle Nachbar eine andere Farbe, als die bisher
				// betrachteten Nachbarknoten, dann ist der Graph nicht färbbar
				if(n.color != neighborColor)
					return false;
			}
 
			// Färbe den Knoten korrekt ein und markiere ihn so als besucht
			// Die Farbe muss das Gegenteil der Farbe der Nachbarn sein!
			// Gab es keine Färbung der Nachbar, so wird der Knoten BLACK
			current.color = (neighborColor == BLACK) ? GRAY : BLACK;
		}
	}
 
// Die Schlange ist leer, alle Knoten wurden abgearbeitet, der Graph
// wurde erfolgreich gefärbt.
return true;

Anmerkungen:

• Immer auf die Bindungstypen achten (statisch versus dynamisch)
• Es kommen grundsätzlich nur die Attribute / Methoden in Frage, die der statische Typ kennt
• Bei überladenen Methoden wird die spezifischte verwendet

Programm zum selber Testen: Walkthrough.java

a)

private void versickern(Knoten k) {
	Knoten groesser = null;
 
	if(links != null && rechts != null) {
		groesser = (links.wert > rechts.wert) ? links : rechts;
 
	} else if(links != null) {
		groesser = links;
 
	} else if(rechts != null) {
		groesser = rechts;
	}
 
	if(groesser == null) {
		return;
	}
 
	if(k.wert > groesser.wert)
		return;
 
	vertausche(k, groesser);        
	versickern(groesser);
}

b)

private void erzeugeHalde(Knoten k) {
	if(k.left != null)
		erzeugeHalde(k.left);
 
	if(k.right != null)
		erzeugeHalde(k.right);
 
	versickern(k);
} 

c)

public Knoten inListeSortieren() {
	// Kann leere Halde nicht sortieren
	if (wurzel == null)
		return null;
 
	// Max-Heap-Eigenschaft herstellen
	erzeugeHalde(wurzel);
 
	// Wurzel entnehmen und zum Kopf unserer Liste machen
	Knoten kopf = entferneMax();
	Knoten schlepp = kopf;
 
	// Wiederholt Wurzel entnehmen und an Liste anhängen
	while(wurzel != null) {
		schlepp.rechts = entferneMax();
		schlepp = schlepp.rechts;
	}
 
	// Kopf unserer Liste zurückgeben
	return kopf;
}

a)

Alle Instanzen von Tabelle stellen eine verkettete Liste dar. Der älteste, also letzte Eintrag, dieser Liste ist „leer“ und hat keinen Payload und sein Feld „naechster“ zeigt auf null.

double letzte(String lort) {
	// Sind wir im letzten Element "leer" der Liste?
	if(naechster == null)
		return 0;
 
	if(ort.equals(lort))
		return wert;
 
	return naechster.letzte(lort);
}

b)

Die Methode meth summiert offenbar den Wert jedes Elements in der List auf.

OPS:
	meth: Tabelle		-> Double

AXS:
	meth(leer) = 0
	meth(in(tab, ort, wert)) = wert + meth(tab)

c)

OPS:
	meth: Tabelle x String		-> Tabelle

AXS:
	filter(leer, ort) = leer
	filter(in(tab, ort, wert), ort2) = in(filter(tab, ort2), ort, wert)		falls equals(ort, ort2)
					 = filter(tab, ort2)				sonst

a)

• 2. Antwort: Komposition

b)

class Buch {
	protected static int medienZaehler;
	public String name;
	private String autor;
	public Buch(String name, String autor) { }
	public static int gibMedienZaehler() { }
	public String gibAutor() { }
}

Hinweis:
Konstruktoren haben keinen Rückgabetyp, auch nicht void.

c)

Dia-Sourcefile für etwaige Korrekturen: :pruefungen:bachelor:aud:02-12-uml1.dia.txt

d)

Dia-Sourcefile für etwaige Korrekturen: :pruefungen:bachelor:aud:02-12-uml2.dia.txt

a)

LO: Falsch
	i = 1; ret = 1; n ≥ 1
	i < n
	Für n = 1 nicht erfüllt

RO: Richtig
	i = 1; ret = 1; n ≥ 1
	ret = Ω_i ∧ i ≤ n
	Ω_1 = 1 ∧ 1 ≤ n
	Immer erfüllt!

LU: Falsch
	i = 1; ret = 1; n ≥ 1
	ret = Ω_n
	Offensichtlich nicht für jedes n erfüllt

RU: Falsch
	i = 1; ret = 1; n ≥ 1
	indIter(n) = O(n^2)
	Offensichtlich völliger Quatsch

b)

Zu zeigen: P => I

wp("ret = 1; i = 1;", ret = Ω_i ∧ i ≤ n) =
(1 = Ω_1 ∧ 1 ≤ n) =
(1 = (1 * (2 - 1) * (2 + 1)) / 3 ∧ 1 ≤ n) =
(1 = 3 / 3 ∧ 1 ≤ n) =
(1 ≤ n)

P => I = 
(n ≥ 1) => (1 ≤ n) =
(true)

c)

Zu zeigen: {I ∧ ¬b} => wp(A, Q)
Anmerkung: A beschreibt das Programmstück nach der Schleife, aber vor der Nachbedingung. Hier ist A "leer", daher gilt: wp(A, Q) = Q

{I ∧ ¬b} =
(ret = Ω_i ∧ i ≤ n ∧ ¬(i < n)) =
(ret = Ω_i ∧ i ≤ n ∧ i ≥ n) =
(ret = Ω_i ∧ i = n) =
(ret = Ω_n)

{I ∧ ¬b} => wp(A, Q) =
{I ∧ ¬b} => Q =
(ret = Ω_n) => Q =
(ret = Ω_n) => (ret = Ω_n) =
(true)

Folgender Abschnitt ist ein korrekter Beweis für die nicht in der Klausur gestellte Fragestellung:
„Weisen Sie formal mittels wp-Kalkül nach, dass I eine gültige Schleifeninvariante ist.“

Zu zeigen: {I ∧ b} => wp(A, I)

wp(A, I) =
wp("i = i + 1; ret = ret + 4 * i * i - 4 * i + 1;", ret = Ω_i ∧ i ≤ n) =
wp("i = i + 1;", ret + 4 * i * i - 4 * i + 1 = Ω_i ∧ i ≤ n) =
(ret + 4 * (i + 1) * (i + 1) - 4 * (i + 1) + 1 = Ω_(i + 1) ∧ (i + 1) ≤ n) =
(ret + 4 * (i + 1)^2 - 4 * (i + 1) + 1 = Ω_(i + 1) ∧ i ≤ n - 1)

Nebenrechnung:
Ω_(i + 1) =
Σ{from 1 to i + 1} (2k - 1)^2 =
Σ{from 1 to i} (2k - 1)^2 + 2*((i + 1) - 1)^2

Nebenrechnung:
(ret + 4 * (i + 1)^2 - 4 * (i + 1) + 1) =
binomische Formel (über Substituierung von (i + 1) eventuell leichter zu sehen)
(ret + (2*(i + 1) - 1)^2)

Daraus ergibt sich:
= (ret + (2*(i + 1) - 1)^2 = Σ{from 1 to i} (2k - 1)^2 + 2*((i + 1) - 1)^2 ∧ i ≤ n - 1) = 
(ret = Σ{from 1 to i} (2k - 1)^2 ∧ i ≤ n - 1)

Und nach einem Blick auf die Definition von Ω_i ergibt sich:
Σ{from 1 to i} (2k - 1)^2 = Ω_i

Damit erhalten wir nun:
= (ret = Ω_i ∧ i ≤ n - 1)


{I ∧ b} => wp(A, I) =
{ret = Ω_i ∧ i ≤ n ∧ i < n} => wp(A, I) =
¬{ret = Ω_i ∧ i ≤ n} ∨ wp(A, I) =
(ret ≠ Ω_i) ∨ (i > n) ∨ wp(A, I) =
(ret ≠ Ω_i) ∨ (i > n) ∨ (ret = Ω_i ∧ i ≤ n - 1)

Sind (ret ≠ Ω_i) und (i > n) beide nicht gültig, dann gilt offensichtlich:
(ret = Ω_i) und (i ≤ n)
Gilt (i ≤ n), dann gilt natürlich auch (i ≤ n - 1)

Damit können wir schlussfolgern:
{I ∧ b} => wp(A, I) = (true)

d)

V = n - i

i wird stetig inkrementiert -> (-i) ist damit monoton fallend

i = 1, i ≤ n und n ≥ 1 -> n - i ≥ 0

e)

Induktionsanfang:

IA_1 (n = 1): 
Ω_1 = (1 * (2 - 1) * (2 + 1)) / 3 = 3 / 3 = 1
indRec(1) = 1

Induktionsschritt:
Induktionsvorraussetzung:

IV_(n-1) (n-1):
indRec(n-1) = Ω_(n-1) gilt für ein n ≥ 1

Aus dem Programmfragment ist zu entnehmen:

indRec(n) = 4*n*n - 4*n + 1 + indRec(n-1) =

über die obigen Induktionsvoraussetzungen kommt man auf:

= 4*n^2 - 4*n + 1 + Ω_(n-1) =
= 2(n - 1)^2 + Ω_(n-1) =
= Ω_(n-1) + 2(n - 1)^2 =
= Σ{from 1 to i-1} (2k - 1)^2 + 2(n - 1)^2 =
= Σ{from 1 to i} (2k - 1)^2 =
= Ω_(n)

q.e.d.