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Lösungsversuch
Aufgabe 1 - Binärsuche
a) O(n)
b)
static int rateZahlSchnell(int n) { if(n < 0) return -1; int start = 0; int end = n; do { int mid = (start + end) / 2; int ret = testeLoesung(mid); if(ret == 0) return mid; if(ret > 0) start = mid + 1; if(ret < 0) end = mid - 1; } while(start <= end); return -1; } static int testeLoesung(int lsg) { int number = 42; if(lsg < number) { return 1; } else if(lsg > number) { return -1; } else { return 0; } }
c) O(log n)
Aufgabe 2 - Graphen
a)
- Ja
- Ja, ein Wurzelgraph ist ein DAG mit nur einer Wurzel
- Nein, es ist Tiefensuche
- Nein, in O(n)
- Nein, sie ist iterativ
b)
- Nein, es gibt Zyklen und der Graph ist ungerichtet
- Nein, es gibt Knoten, die mit nur einer Kante mit dem restlichen Graphen verbunden sind (Beispiel: Knoten C)
- Nein, es gibt Zyklen
- Ja, jeder Knoten ist von jedem anderen aus erreichbar
- Nein, nicht jeder Knoten hat einen geraden Grad
c)
A | B | C | D | E | F | G | H | I |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | [0] | ∞ |
∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ | [10] | ∞ | 0 | 12 |
∞ | ∞ | ∞ | ∞ | 21 | 10 | ∞ | 0 | [12] |
∞ | ∞ | ∞ | ∞ | [21] | 10 | 21 | 0 | 12 |
∞ | 28 | ∞ | ∞ | 21 | 10 | [21] | 0 | 12 |
∞ | 28 | ∞ | [24] | 21 | 10 | 21 | 0 | 12 |
∞ | [25] | ∞ | 24 | 21 | 10 | 21 | 0 | 12 |
29 | 25 | [27] | 24 | 21 | 10 | 21 | 0 | 12 |
d) 27
e)
AB, BD, BC, DG, GE, GI, IF, FH
f)
BD, BC, DG, BA, FI, GE, GI, FH
Aufgabe 3 - Java
a) Java Datei zum Ausprobieren: :pruefungen:bachelor:aud:test.java-ws07.txt
Zeile | Fehler bzw. Ausgabe |
---|---|
32 | 5 |
33 | 13 |
34 | 6 |
35 | 13 |
38 | 5 |
39 | 21 |
40 | 21 |
41 | 7 |
44 | FEHLER |
45 | 21 |
46 | FEHLER |
47 | 7 |
b)
Zeile | Fehlerbeschreibung oder korrigierte Anweisung |
---|---|
6 | fehlender Cast von double zu int |
8 | Vergleich („==“) statt Zuweisung („=“) |
12 | Variable „i“ hier nicht deklariert |
14 | Zuweisung („=“) statt Vergleich („==“) für booleschen Ausdruck |
15 | überzähliges „{“ am Ende der if-Bedingung |
c) Nein, eine Instanziierung von abstrakten Klassen ist nicht möglich.
Aufgabe 4 - Arithmetische Ausdrücke - Grammatik
(nicht mehr Stoff aktueller Semester)
Aufgabe 5 - ADT
a)
- number
- binop
- left
- right
- commutate
Hinweis: Konstruktoren sind alle Operationen, die Datenobjekte des Typs erzeugen.
b)
- numops(number(q)) = 0
- numops(binop(a,op,b)) = 1 + numops(a) + numops(b)
c)
- commutate(number(q)) = number(q)
- commutate(binop(a,*,b) = binop(communtate(b),*,commutate(a))
- commutate(binop(a,+,b) = binop(communtate(b),+,commutate(a))
- commutate(binop(a,-,b) = binop(communtate(a),-,commutate(b))
- commutate(binop(a,/,b) = binop(communtate(a),/,commutate(b))
d)
binop(left(commutate(binop(4,+,7))),*,right(binop(binop(1,-,1),+,binop(3,*,4)))) = //commutate// = binop(left(binop(7,+,4)),*,right(binop(binop(1,-,1),+,binop(3,*,4)))) = //right// = binop(left(binop(7,+,4)),*,binop(3,*,4)) = //left// = binop(7,*,binop(3,*,4))
e)
double left = left.evaluate(); double right = right.evaluate(); switch(op) { case '+': return left + right; case '-': return left - right; case '*': return left * right; case '/': return left / right; }
Aufgabe 6 - Rucksackproblem
a)
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | - | [+] | / | / | / | / | / | / | / | / | / | / | / |
3 | - | [-] | / | + | + | / | / | / | / | / | / | / | / |
4 | - | - | / | - | - | [+] | / | + | + | / | / | / | / |
7 | - | - | / | - | - | - | / | - | - | / | + | + | [+] |
8 | - | - | / | - | - | - | / | - | - | + | - | - | [-] |
b)
Gesucht: Lösung für Rucksack der Größe 12
Elemente mit den Größen 1, 4, 7 (Pfad mit eckigen Klammern in der Tabelle aus a) markiert)
Algorithmus: P(5, 12) -> k_5 = 8 gehört nicht rein -> P(4, 12) P(4, 12) -> k_4 = 7 gehört rein -> P(3, 12 - 7) P(3, 5) -> k_3 = 4 gehört rein -> P(2, 5 - 4) P(2, 1) -> k_2 = 3 gehört nicht rein -> P(1, 1) P(1, 1) -> k_1 = 1 gehört rein -> Rucksack vollständig gefüllt
c)
for(int i = 1; i < n; i++) { // Zeilen for(int j = 0; j < m + 1; j++) { // Spalten if((tab[i][j] == OHNE || tab[i][j] == MIT) && i < n-1) { // Wenn in einer Zeile MIT oder OHNE steht tab[i+1][j] = OHNE; // so muss die Zelle daraunter den Wert OHNE haben. if(j + k[i+1] <= m) tab[i+1][j+k[i+1]] = MIT; } } }
d)
unsicher!
* nein
* ja
* nein
* ja
=== Aufgabe 7 - Binäre Bäume ===
a)
Der Binärbaum muss eine totale Ordnung aufweisen:
Alle Knoten im linken Teilbaum müssen einen echt kleineren, alle im rechten Teilbaum einen echt größeren Wert als der aktuelle Knoten haben.
b)
<code java>
public class BB {
…
public void einfuegen(int schluessel) {
if(this.schluessel == schluessel)
return;
if(schluessel < this.schluessel) {
if(left != null) {
left.einfuegen(schluessel);
} else {
left = new BB(schluessel);
}
} else {
if(right != null) {
right.einfuegen(schluessel);
} else {
right = new BB(schluessel);
}
}
}
}
</code>
c)
<code java>
public class BB {
…
public int maximum() {
if(right != null)
return right.maximum();
return schluessel;
}
}
</code>
d)
Der Wert eines Knotes in einem Max-Heap muss größer sein als der seiner Kinder.
e)
<code java>
public class Heap {
…
public int maximum() {
return schluessel;
}
}
</code>
f)
Suchbaum:
Max-Heap:
g)
* Nein
* Nein
* Ja, wenn es sich um einen Min-Heap handelt
* Nein, man muss eines Tiefensuche vewenden
=== Aufgabe 8 - Sortieren ===
a)
| | | | | | | ∨ |
| [35] | 70 | 42 | 11 | 99 | 1 | 20 |
| ∧ | | | | | | |
| | | | | | | ∨ |
| [35] | 70 | 42 | 11 | 99 | 1 | 20 |
| | ∧ | | | | | |
| | | | | | | ∨ |
| [35] | 20 | 42 | 11 | 99 | 1 | 70 |
| | ∧ | | | | | |
| | | | | | ∨ | |
| [35] | 20 | 42 | 11 | 99 | 1 | 70 |
| | ∧ | | | | | |
| | | | | | ∨ | |
| [35] | 20 | 42 | 11 | 99 | 1 | 70 |
| | | ∧ | | | | |
| | | | | | ∨ | |
| [35] | 20 | 1 | 11 | 99 | 42 | 70 |
| | | ∧ | | | | |
| | | | | ∨ | | |
| [35] | 20 | 1 | 11 | 99 | 42 | 70 |
| | | ∧ | | | | |
| | | | ∨ | | | |
| [35] | 20 | 1 | 11 | 99 | 42 | 70 |
| | | ∧ | | | | |
| | | | ∨ | | | |
| [35] | 20 | 1 | 11 | 99 | 42 | 70 |
| | | | ∧ | | | |
| | | | ∨ | | | |
| 11 | 20 | 1 | 35 | 99 | 42 | 70 |
| | | | ∧ | | | |
Linkes Teil-Array:
| | | ∨ |
| [11] | 20 | 1 |
| ∧ | | |
| | | ∨ |
| [11] | 20 | 1 |
| | ∧ | |
| | | ∨ |
| [11] | 1 | 20 |
| | ∧ | |
| | ∨ | |
| [11] | 1 | 20 |
| | ∧ | |
| | ∨ | |
| 1 | 11 | 20 |
| | ∧ | |
Linkes Teil-Array:
| ∨ |
| [1] |
| ∧ |
Rechtes Teil-Array:
| ∨ |
| [20] |
| ∧ |
Rechtes Teil-Array:
| | | ∨ |
| [99] | 42 | 70 |
| ∧ | | |
| | | ∨ |
| [99] | 42 | 70 |
| | ∧ | |
| | | ∨ |
| [99] | 42 | 70 |
| | | ∧ |
| | | ∨ |
| 70 | 42 | 99 |
| | | ∧ |
| | | ∨ |
| 70 | 42 | 99 |
| | | ∧ |
Linkes Teil-Array:
| | ∨ |
| [70] | 42 |
| ∧ | |
| | ∨ |
| [70] | 42 |
| | ∧ |
| | ∨ |
| 42 | 70 |
| | ∧ |
Linkes Teil-Array:
| ∨ |
| [42] |
| ∧ |
Sortierte Folge:
| 1 | 11 | 20| 35| 42| 70| 99 |
b)
<code java>
MyArray sort(MyArray a) {
int len = a.getLength();
int halfLen = len / 2;
if(len ⇐ 1)
return a;
MyArray left = sort(getLeftSideSplit(halfLen));
MyArray right = sort(getRightSideSplit(halfLen));
return merge(left, right);
}
</code>
c)
^ / ^ mittlere Laufzeit ^ schlechteste Laufzeit ^ beste Laufzeit ^
^ QuickSort | O(n log n) | O(n²) | O(n log n) |
^ MergeSort| O(n log n) | O(n log n) | O(n log n) |
^ BubbleSort | O(n²) | O(n²) | O(n) |
=== Aufgabe 9 - Aufwände, O-Kalkül ===
a)
* O(log n)
* O(k)
* O(n²)
* O(n)
* O(n³)
b)
* Ja, Logarithmen zu verschiedenen Basen unterscheiden sich nur durch konstanten Faktor
* Ja, gültige Regel
* Nein, für Subtraktion und Division gibt es keine Sonderregeln
* Nein, O(n log n) steigt stärker
=== Aufgabe 10 - WP-Kalkül ===
a)
wp(„b = 5*a - 3; c = 2*a; b = b + 3 * c;“, b = 8) =
wp(„b = 5*a - 3; c = 2*a;“, b + 3*c = 8) =
wp(„b = 5*a - 3;“, b + 3*(2*a) = 8) =
((5*a - 3) + 3*(2*a) = 8) =
(5*a - 3 + 6*a = 8) =
(11*a = 11) =
(a = 1)
b)
wp(„b = 2*a + 1; c = a*a; a = c + b*b;“, a >= 0) =
wp(„b = 2*a + 1; c = a*a;“, c + b*b >= 0) =
wp(„b = 2*a + 1;“, a*a + b*b >= 0) =
(a*a + (2*a + 1)*(2*a + 1) >= 0) =
(a² + 4*a² + 4*a + 1 >= 0) =
(5* a² + 4*a + 1 >= 0) =
(true)
c)
wp(„if (a == b) then a = 2*a; b = 2*b; else a = a + 1; b = b + 1; endif;“, a = b) =
[(a == b) ∧ wp(„a = 2*a; b = 2*b;“, a = b)] ∨ [(a != b) ∧ wp(„a = a + 1; b = b + 1;“, a = b)] =
[(a == b) ∧ wp(„a = 2*a;“, a = 2*b)] ∨ [(a != b) ∧ wp(„a = a + 1; b = b + 1;“, a = b)] =
[(a == b) ∧ (2*a = 2*b)] ∨ [(a != b) ∧ wp(„a = a + 1; b = b + 1;“, a = b)] =
[(a == b) ∧ (2*a = 2*b)] ∨ [(a != b) ∧ wp(„a = a + 1;“, a = b + 1)] =
[(a == b) ∧ (2*a = 2*b)] ∨ [(a != b) ∧ (a + 1 = b + 1)] =
[(a == b) ∧ (a = b)] ∨ [(a != b) ∧ (a + 1 = b + 1)] =
(true) ∨ [(a != b) ∧ (a + 1 = b + 1)] =
(true) ∨ (false) =
(true)
d)
* Nein, gilt nur vor der Schleife, nicht im Schleifenrumpf
* Ja, gilt vor der Schleife nicht, jedoch: {I ∧ b} ⇒ wp(A, I)
* Nein, gilt nur vor der Schleife, nicht im Schleifenrumpf
* Ja, true ist immer Schleifeninvariante
e)
Invariante
(y - y0) / (x - x0) = m
Es gilt:
x = x0; y = y0;
x = x + 1; y = y + m;
m unverändert
((y - y0) / (x - x0) = m) =
((y + m - y0) / (x + 1 - x0) = m) =
((y0 + m - y0) / (x0 + 1 - x0) = m) =
(m / 1 = m) =
(m = m) =
(true)