Lösungsvorschlag

a)

• O(n^2)
• O(n^3)
• O(n)
• p=1
• O(h^2)
• n+1
• 1
• 3

b)

| 1 | 1.25 | 1.5 | 1.75 | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |

2.1 a)

    |  1  0  0 0 |         | 2 -1 1  0 |
    | -2  1  0 0 |         | 0  2 0  2 |
L = |  2 -1  1 0 |     R = | 0  0 1 -2 |
    |  0  0 -2 1 |         | 0  0 0  2 |
    

2.1 b)

    |  2 |   | sqrt(36) |   | -4 |
    | -4 |   |    0     |   | -4 |
L = |  4 | - |    0     | = |  4 |
    |  0 |   |    0     |   |  0 |
    

2.2 c)

• Doppelte Gitterweite ⇒ 4-fache Anzahl Iterationen
• Doppelte Fehlertoleranz ⇒ linear mehr Iterationen

 154 |  207 |  260
 620 |  830 | 1040
2480 | 3320 | 4160

2.2 d)

• Gauss-Seidel benoetigt halb so viele Iterationen wie Jacobi

  77 |  103 |  130
 310 |  415 |  520
1240 | 1660 | 2080

2.2 e)

• Gauss-Seidel benoetigt Wurzel-n-mal so viele Iterationen wie Jacobi

13 | 18 | 23
25 | 35 | 45
50 | 70 | 90
     

a)

val = [5, 1, 3, -6, -2, -1]
col_idx = [2, 4, 2, 4, 1, 3]
row_ptr = [1, 1, 3, 3, 5, 7]

b)
Von Null verschiedene

• Zeilen: Anzahl versch. Elemente in col_ptr - 1
• Spalten: Anzahl versch. Elemente in col_idx
• Elemente: letztes Element row_ptr - 1

c)

bB_1 = 0 (kein Wert in 1. Spalte)
bB_2 = 4*b_2 = 4
bB_3 = 3*b_3 + 7*b_4 = 7
bB_4 = (-2)*b_2 + 8*b_3 = -2

=> bB = (0, 4, 7, -2)

a)

        | -1   fuer x in [-1, 0)
 l(x) = {  2   fuer x in [0, 1.5)
        |  4   fuer x in [1.5, 2]
        

b)

        | 3x/2 + 1/2   fuer x in [-1, 1)
 l(x) = { 2x           fuer x in [1, 2]

c)
l_0 = [(x-1)(x-2)/(-1-1)(-1-2)] = 1/6 * (x^2 -3x +2)
l_1 = [(x+1)(x-2)/(1+1)(1-2)] = -1/2 * (x^2 -x -2)
l_2 = [(x+1)(x-1)/(2+1)(2-1)] = 1/3 * (x^2 - 1)

d)
p(x) = -l_0 + 2*l_1 + 4*l_2 = -1/6 * (x^2 -3x +2) -(x^2 -x -2) + 4/3 * (x^2 - 1)

e)
n_0 = 1
n_1 = (x+1)
n_2 = (x+1)(x-1)

f)
z. B. Aitken-Neville:

|x_i  y_i
|
|-1   -1   
|          \  3/2
| 1    2   /         \ 1/6
|          \   2     /
| 2    4   /

⇒ p(x) = -1 + 3/2*(x+1) + 1/6*(x+1)(x-1)

a)

| 8|
|16| \ | 6|
| 0| / |14| \ | 5| 
| 8| \ | 2| / |12| \ | 5|
| 8| / | 6| \ | 5| / |11|
| 0| \ |14| / | 8|
|32| / |14|
|56|

b)
b_0 = (18, 8)^T b_1 = (10, 0)^T b_2 = (2, 8)^T b_3 = (58, 32)^T

c)

d)

• liegt nicht in der konvexen Huelle der Kontrollpunkte
• nicht tangential in den Endpunkten
• nicht variationsreduzierend

e)

a)

• P_0: [0, 1, 0]
• P_1: [1/2, 0, 1/2]
• P_2: [2/3, 1/3, 0]
• P_3: [2/5, 1/5, 2/5]

b)

• alpha = 5/8
• beta = 2/8
• gamma = 1/8

c)
U = 0.5

d)

• rho < 0, sigma > 0, tau > 0
• rho > 1, sigma < 0, tau < 0

a)
[…, 0, 1, 2, 7/3, 2, 1, 2/3, 1, 2, 7/3, 2, 1, 2/3, 1, …]

b)
1. nein, Reihenfolge egal 2. h = h_1 * h_2

c)
Wegen d_a(x) = d(x-a) gilt Integral( f(x) * d_a(x-a) dx) = f(a)

d)
Der erste Uebergang leicht nach unten gebogen, dann linear: (-1/2, 0) → (3/2, 1) → (3/2 + x, 1 + x)

a)
2 + 18 = 20

b)
1/8 * ( 0+1 + 1+8 + 8+27 + 27+64) = 136/8 = 17