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pruefungen:bachelor:algoks:loesungws11 [07.07.2012 11:42] – gelöscht o.O pruefungen:bachelor:algoks:loesungws11 [10.07.2016 01:02] (aktuell) – m0kab0
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 +===== Forendiskussionen =====
 +
 +  * [[https://fsi.informatik.uni-erlangen.de/forum/thread/9408-Klausur-Februar-2012]] Gesamte Klausur
 +
 +===== Lösungsversuch =====
 +
 +==== Aufgabe 1 - Komplexität ====
 +**a)** O(n)
 +
 +**b)** O(n²)
 +
 +**c)** O(n³)
 +
 +**d)** O(n²)
 +
 +**e)** O(n)
 +
 +**f)** O(n)
 +
 +**g)** O(n²)
 +
 +**h)** O(n)
 +
 +==== Aufgabe 2 - Speicherung dünn besetzter Matrizen ====
 +
 +**a)**
 +
 +val = 3, 1, 5, 6, -2, -1 \\
 +col_idx = 1, 3, 1, 3, 1, 2 \\
 +row_ptr = 0, 0, 2, 2, 4, 6
 +
 +**b)**
 +
 +m entspricht der Anzahl der Einträge im row_ptr - 1 \\
 +n entspricht mindestens des größten Werts im col_ind + 1
 +
 +**c)**
 +
 +<code>
 +|0  0  0  0  0|
 +|0  4  0 -2  0|
 +|0  0  3  8  0|
 +|0  0  7  0  4|
 +</code>
 +
 +==== Aufgabe 3 - Numerische Integration ====
 +
 +**a)**
 +
 +12 \\
 +1. Trapez: (1,0), (1,5), (3,0), (3,1) \\
 +2. Trapez: (3,0), (3,1), (5,0), (5,5)
 +
 +**b)**
 +
 +10 \\
 +1. Trapez: (1,0), (1,5), (2,0), (2,2) \\
 +2. Trapez: (2,0), (2,2), (3,0), (3,1) \\
 +3. Trapez: (3,0), (3,1), (4,0), (4,2) \\
 +4. Trapez: (4,0), (4,2), (5,0), (5,5) \\
 +
 +**c)**
 +
 +28/3
 +
 +**d)**
 +
 +28/3
 +
 +==== Aufgabe 4 - Least-Square Approximation ====
 +
 +**a)**
 +
 +Für Q: \\
 +w_00 = 1/2 \\
 +w_10 = 1/6 \\
 +w_11 = 1/12 \\
 +w_01 = 1/4 \\
 +
 +Für M: \\
 +w_00 = 1/4 \\
 +w_10 = 1/4 \\
 +w_11 = 1/4 \\
 +w_01 = 1/4 \\
 +
 +**b)**
 +
 +w_N = 1/2 \\
 +w_S = 1/2 \\
 +w_W = 1/2 \\
 +w_O = 1/2 \\
 +w_NO = -1/4 \\
 +w_NW = -1/4 \\
 +w_SO = -1/4 \\
 +w_SW = -1/4 \\
 +
 +==== Aufgabe 5 - Singulärwertzerlegung ====
 +
 +**a)**
 +
 +Singulärwerte: 1, 1/2, 1/3 \\
 +Rang: r = 3 \\
 +Bild: span{(0, -1, 0)^T, (-1, 0, 0)^T, (0, 0, 1)^T} \\
 +Kern: span{(-1/2, 1/2, -1/2, 1/2)^T} \\
 +Konditionszahl: 1/(1/3) = 3
 +
 +**b)**
 +
 +U^T * (1, 0, -2)^T = (0, -1, -2)^T \\
 +S^~1 * (0, -1, -2)^T = (0, -2, -6, 0)^T \\
 +V * (0, -2, -6, 0)^T = (2, -4, -4, 2)^T
 +
 +**c)**
 +
 +<code>
 +|   0     0    0    0|
 +|-1/2  -1/2  1/2  1/2|
 +|   0     0    0    0|
 +</code>
 +
 +==== Aufgabe 6 - Programmierung: LU-Zerlegung ====
 +
 +**a)**
 +
 +<code cpp>
 +void Solver::decomposeLU(const Matrix& m, Matrix& l, Matrix& u) { 
 + int d = m.getWidth();
 + u = m;
 + l.setIdentity();
 +
 + for(int c = 0; c < d; c++) {
 + for(int r = c + 1; r < d; r++) {
 + float factor = u(r,c) / u(c,c);
 +
 + for(int c2 = c; c < d; c++) {
 + u(r, c2) = u(r, c2) - u(c, c2) * factor;
 + }
 +
 + l(r,c) = factor;
 + }
 + }
 +}
 +</code>
 +
 +**b)**
 +
 +<code cpp>
 +void Solver::solveSystem(const Matrix& m, const Matrix& b, Matrix& x) {
 + int d = m.getHeight();
 + Matrix u(d, d);
 + Matrix l(d, d);
 + Matrix y(d, 1);
 + decomposeLU(m, l, u);
 + forwardSubstitution(l, b, y);
 + backwardSubstitution(u, y, x);
 +}
 +</code>
 +
 +**c)**
 +
 +<code cpp>
 +float Solver::calcDeterminant(const Matrix& m) {
 + int d = m.getHeight();
 + Matrix u(d, d);
 + Matrix l(d, d);
 + decomposeLU(m, l, u);
 +
 + float res = 1.0f;
 + for(int i = 0; i < d; i++) {
 + res *= u(i,i);
 + }
 +
 + return res;
 +}
 +</code>
 +
 +
 +==== Aufgabe 7 - Programmierung: Bildbearbeitung ====
 +
 +**a)**
 +
 +<code cpp>
 +void computeDerivativeXX(const Image& image, Image& result) {
 + int d = image.getDimension();
 +
 + for(int r = 0; r < d; r++) {
 + for(int c = 0; c < d; c++) {
 + if(c < 2 || c >= d - 2)
 + result(r,c) = 0.0f;
 + else
 + result = -2 * image(r,c) + image(r,c-2) + image(r, c+2);
 + }
 + }
 +}
 +</code>
 +
 +**b)**
 +
 +<code cpp>
 +void computeLaplacian(const Image& image, Image& result) {
 + int d = image.getDimensions();
 +
 + Image dX(d);
 + Image dY(d);
 +
 + computeDerivativeXX(image, dX);
 + computeDerivativeYY(image, dY);
 +
 + for(int r = 0; r < d; r++) {
 + for(int c = 0; c < d; c++) {
 + result(r, c) = dX(r,c) + dY(r, c);
 + }
 + }
 +}
 +</code>
 +
 +**c)**
 +
 +...
 +
 +==== Aufgabe 8 - Nichtlineare Optimierung ====
 +
 +**a)**
 +
 +s_0 = (0, -2)^T \\
 +t_0 = 1/2 \\
 +x_1 = (1, 0)^T
 +
 +s_1 = (-2, 0)^T \\
 +t_1 = 1/4 \\
 +x_2 = (1/2, 0)^T
 +
 +**b)**
 +
 +s_x = 0, s_y beliebig \\
 +z.B.: (0, 1)^T
 +
 +**c)**
 +
 +Konvergenzordung: \\
 +Die Konvergenzordnung beschreibt, um welchen Grad die Genauigkeit einer Approximation pro Iterationsschirtt zunimmt.
 +
 +Lineare Kovergenz: \\
 +<code>
 +Für alle c < 1 gilt:
 +|x_i+1 - x*| <= c * |x_i - x*|
 +</code>
 +
 +Quadratische Kovergenz: \\
 +Potenzordnung p mit der der Fehler kleiner wird:
 +<code>
 +Für alle c < 1 gilt:
 +|x_i+1 - x*| <= c * |x_i - x*|²
 +</code>
 +
 +==== Aufgabe 9 - Interpolation ====
 +
 +**a)**
 +
 +<code>
 +       { -x + 1    für  1 <= x < 3
 +L(x) = { 2x - 8    für  3 <= x < 5
 +       { -2x + 12  für  5 <= x < 7
 +</code>
 +
 +**b)**
 +
 +Interpolation: Graph verläuft exakt durch die Werte der Stützpunkte. \\
 +Approximation: Graph nähert sich den Werten der Stützpunkte an, verläuft aber nicht zwingend durch sie.
 +
 +**c)**
 +
 +Grad des Polynoms: 5 \\
 +Damit: 6 Datenpunkte nötig
 +
 +**d)**
 +
 +c_0 = 0 \\
 +c_1 = 2/π \\
 +c_2 = -8/3π² \\
 +c_3 = 16/6π³ \\
 +
 +p(x) = 2/π * x - 8/3π² * x (x - π/2) + 16/6π³ * x (x - π/2)(x - 3π/2)
 +
 +==== Aufgabe 10 - Bézier-Kurven ====
 +
 +**a)**
 +
 +(55/2, 44)^T
 +
 +**b)**
 +
 +...
 +
 +**c)**
 +
 +...
 +
 +**d)**
 +
 +  * Bézier-Kurven liegt in der konvexen Hülle
 +  * Variationsreduzierend
 +  * In den Endpunkten tangential an das Kontroll-Polygon
 +  * Geht durch die Endpunkte des Kontroll-Polygons