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Inhaltsverzeichnis
Forendiskussionen
Lösungsversuch
Aufgabe 1 - Komplexität
a) O(n)
b) O(n²)
c) O(n³)
d) O(n²)
e) O(n)
f) O(n)
g) O(n²)
h) O(n)
Aufgabe 2 - Speicherung dünn besetzter Matrizen
a)
val = 3, 1, 5, 6, -2, -1
col_idx = 1, 3, 1, 3, 1, 2
row_ptr = 0, 0, 2, 2, 4, 6
b)
m entspricht der Anzahl der Einträge im row_ptr - 1
n entspricht mindestens des größten Werts im col_ind + 1
c)
|0 0 0 0 0| |0 4 0 -2 0| |0 0 3 8 0| |0 0 7 0 4|
Aufgabe 3 - Numerische Integration
a)
12
1. Trapez: (1,0), (1,5), (3,0), (3,1)
2. Trapez: (3,0), (3,1), (5,0), (5,5)
b)
10
1. Trapez: (1,0), (1,5), (2,0), (2,2)
2. Trapez: (2,0), (2,2), (3,0), (3,1)
3. Trapez: (3,0), (3,1), (4,0), (4,2)
4. Trapez: (4,0), (4,2), (5,0), (5,5)
c)
28/3
d)
28/3
Aufgabe 4 - Least-Square Approximation
a)
Für Q:
w_00 = 1/2
w_10 = 1/6
w_11 = 1/12
w_01 = 1/4
Für M:
w_00 = 1/4
w_10 = 1/4
w_11 = 1/4
w_01 = 1/4
b)
w_N = 1/2
w_S = 1/2
w_W = 1/2
w_O = 1/2
w_NO = -1/4
w_NW = -1/4
w_SO = -1/4
w_SW = -1/4
Aufgabe 5 - Singulärwertzerlegung
a)
Singulärwerte: 1, 1/2, 1/3
Rang: r = 3
Bild: span{(0, -1, 0)^T, (-1, 0, 0)^T, (0, 0, 1)^T}
Kern: span{(-1/2, 1/2, -1/2, 1/2)^T}
Konditionszahl: 1/(1/3) = 3
b)
U^T * (1, 0, -2)^T = (0, -1, -2)^T
S^~1 * (0, -1, -2)^T = (0, -2, -6, 0)^T
V * (0, -2, -6, 0)^T = (2, -4, -4, 2)^T
c)
| 0 0 0 0| |-1/2 -1/2 1/2 1/2| | 0 0 0 0|
Aufgabe 6 - Programmierung: LU-Zerlegung
a)
void Solver::decomposeLU(const Matrix& m, Matrix& l, Matrix& u) { int d = m.getWidth(); u = m; l.setIdentity(); for(int c = 0; c < d; c++) { for(int r = c + 1; r < d; r++) { float factor = u(r,c) / u(c,c); for(int c2 = c; c < d; c++) { u(r, c2) = u(r, c2) - u(c, c2) * factor; } l(r,c) = factor; } } }
b)
void Solver::solveSystem(const Matrix& m, const Matrix& b, Matrix& x) { int d = m.getHeight(); Matrix u(d, d); Matrix l(d, d); Matrix y(d, 1); decomposeLU(m, l, u); forwardSubstitution(l, b, y); backwardSubstitution(u, y, x); }
c)
float Solver::calcDeterminant(const Matrix& m) { int d = m.getHeight(); Matrix u(d, d); Matrix l(d, d); decomposeLU(m, l, u); float res = 1.0f; for(int i = 0; i < d; i++) { res *= u(i,i); } return res; }
Aufgabe 7 - Programmierung: Bildbearbeitung
a)
void computeDerivativeXX(const Image& image, Image& result) { int d = image.getDimension(); for(int r = 0; r < d; r++) { for(int c = 0; c < d; c++) { if(c < 2 || c >= d - 2) result(r,c) = 0.0f; else result = -2 * image(r,c) + image(r,c-2) + image(r, c+2); } } }
b)
void computeLaplacian(const Image& image, Image& result) { int d = image.getDimensions(); Image dX(d); Image dY(d); computeDerivativeXX(image, dX); computeDerivativeYY(image, dY); for(int r = 0; r < d; r++) { for(int c = 0; c < d; c++) { result(r, c) = dX(r,c) + dY(r, c); } } }
c)
…
Aufgabe 8 - Nichtlineare Optimierung
a)
s_0 = (0, -2)^T
t_0 = 1/2
x_1 = (1, 0)^T
s_1 = (-2, 0)^T
t_1 = 1/4
x_2 = (1/2, 0)^T
b)
s_x = 0, s_y beliebig
z.B.: (0, 1)^T
c)
Konvergenzordung:
Die Konvergenzordnung beschreibt, um welchen Grad die Genauigkeit einer Approximation pro Iterationsschirtt zunimmt.
Lineare Kovergenz:
Für alle c < 1 gilt: |x_i+1 - x*| <= c * |x_i - x*|
Quadratische Kovergenz:
Potenzordnung p mit der der Fehler kleiner wird:
Für alle c < 1 gilt: |x_i+1 - x*| <= c * |x_i - x*|²
Aufgabe 9 - Interpolation
a)
{ -x + 1 für 1 <= x < 3 L(x) = { 2x - 8 für 3 <= x < 5 { -2x + 12 für 5 <= x < 7
b)
Interpolation: Graph verläuft exakt durch die Werte der Stützpunkte.
Approximation: Graph nähert sich den Werten der Stützpunkte an, verläuft aber nicht zwingend durch sie.
c)
Grad des Polynoms: 5
Damit: 6 Datenpunkte nötig
d)
c_0 = 0
c_1 = 2/π
c_2 = -8/3π²
c_3 = 16/6π³
p(x) = 2/π * x - 8/3π² * x (x - π/2) + 16/6π³ * x (x - π/2)(x - 3π/2)
Aufgabe 10 - Bézier-Kurven
a)
(55/2, 44)^T
b)
…
c)
…
d)
- Bézier-Kurven liegt in der konvexen Hülle
- Variationsreduzierend
- In den Endpunkten tangential an das Kontroll-Polygon
- Geht durch die Endpunkte des Kontroll-Polygons