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Inhaltsverzeichnis
Forendiskussionen
Lösungsversuch
Aufgabe 1 - Komplexität
a) O(n) b) O(n²) c) O(n) d) O(n) e) O(n²) f) O(n²) g) O(n³) h) O(n²)
Aufgabe 2 - Interpolation
a)
l(x) = { 0 für 0 <= x < 1 { 12x - 12 für 1 <= x < 2 { 60x - 108 für 2 <= x < 3
b)
Koeffizienten c0 = 0, c1 = 0, c2 = 6, c3 = 6
Polynom: a(x) = 6x³ - 12x² + 6x
c)
|1 0 0 0 | |1 1 0 0 | |1 2 2 0 | |1 3 6 6 |
d) Die Systemmatrix A ist eine untere Dreiecksmatrix und lässt sich einfach durch Vorwärtseinsetzen lösen.
Aufgabe 3 - LU-Zerlegung
a)
|1 0 0 0| L = |2 1 0 0| |0 3 1 0| |0 0 2 1| |2 1 4 1| U = |0 1 1 1| |0 0 2 1| |0 0 0 3|
b)
x = (-3, 1, 4)^T
Aufgabe 4 - Eigenschaften von Bézier-Kurven
a)
- Affine Invarianz
- Bézier-Kurven liegt in der konvexen Hülle
- Variationsreduzierend
- In den Endpunkten tangential an das Kontroll-Polygon
b) …
c) …
Aufgabe 5 - Baryzentrische Koordinaten
a) Fläche im spitzen Winkel bei T
b) Halbgerade RS links von R (exklusiv)
c) Punkt T
d) …
e) ρ = -2 σ = 1 τ = 2
Aufgabe 6 - Singulärwertzerlegung
a) Singulärwerte: 3/2, 3/4, 1/2 Rang: r = 3 Bild: span{(-1/3 -2/3 -2/3)^T, (-2/3 2/3 -1/3)^T, (-2/3 -1/3 2/3)^T} Kern: span{(1/2 -1/2 -1/2 1/2)^T} Konditionszahl: 6/4 * 4/2 = 3
b) (-14 -4 4 14)^T
c)
|1 1 1 1| -1/4 x |2 2 2 2| |2 2 2 2|
Aufgabe 7 - Programmierung
…
Aufgabe 8 - Numerische Integration
a) 20
b) 17
c) 16
d) 16
e) 16
f) O(h²)
g) O(h^4)
Aufgabe 9 - Matrix-Norm und Kondition
a) Das Problem ist für Funktion g(x) besser konditioniert, da die Tangente bei x = 1 eine geringere Steigung aufweist: K(f) = π K(g) = 1/π g hat die kleinere Konditionszahl.
b) 7, 5, 19, 24, 6, 6
c) mit 1-Norm: K(A_1) = 49/25 K(A_3) = 24
d) Die Geraden von SP_1 stehen fast senkrecht aufeinander. Die Geraden von SP_2 verlaufen relativ parallel. Damit ist SP_1 besser konditioniert.
Aufgabe 10 - Nullstellensuche
a) …
b) x_2 = 1/2 x_3 = -7
c) (-4, 3)^T