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Lösungsvorschlag

Aufgabe 1 (Theorieaufgaben)

a)

  • O(n)
  • O(n)
  • O(n^2)
  • O(n^3)
  • O(n^2)
  • n-1
  • O(h^3)
  • O(h^4)

b) z. B. Newton-Verfahren

c) Anzahl korrekter Stellen nimmt pro Iterationsschritt quadratisch zu.

Aufgabe 2 (Direkte Verfahren fuer lin. Gleichungssysteme)

a)

               | 0  1  0 |   |  4   6  4 |
A = P_0 * A' = | 1  0  0 | * |  0   4  2 |
               | 0  0  1 |   | -2  -1  3 |
    
         |   1  0 0 |   | 4  6  4 |
= P_0 *  |   0  1 0 | * | 0  4  2 |
         | -1/2 0 1 |   | 0  2  5 |
    
         |   1    0   0 |   | 4  6  4 |
= P_0 *  |   0    1   0 | * | 0  4  2 | = P_0 * L * R
         | -1/2  1/2  1 |   | 0  0  4 |
         

b)

                  |  0 |
                  |  1 |
L * y = b <=> y = | -1 |
                  |  0 |
                           
                  |  1 |
                  |  0 |
R * x = y <=> x = | -1 |
                  |  0 |
                  

c)

          | -1  1 -1  1 |   | 2 0 -2 1 |
          |  1  1 -1 -1 |   | 0 2  1 0 |
B = 1/2 * |  1  1  1  1 | * | 0 0  1 2 |
          |  1 -1 -1  1 |   | 0 0  0 1 |
          

Aufgabe 3 (Singulärwertzerlegung)

a)

  • V^T: Drehung von x
  • Sigma: Streckung / Stauchung von y
  • U: Drehung von z

b) Die Singulärwerte sind die Quadratwurzeln der Eigenwerte von A^T*A bzw. A*A^T.

Sei A^T A = E_1 D_1 E_1^T und A A^T = E_2 D_2 E_2^T. Dann gilt: U = E_2, V = E_1.

c) /A/_2 * /A^-1/_2 = 8 * 1 = 8

d)

  • im(A) = 1/5 * [(3, 0, 4, 0)^T, (0, -3, 0, -4)^T, (-4, 0, -3, 0)^T, (0, -4, 0, -3)^T]
  • ker(A) = {0} (der triviale Nullraum)

e)

          | 3 |                                  | 12 -6 -3 -6 |
          | 0 |                                  |  0  0  0  0 |
8 * 1/5 * | 4 | * 1/5 * (4, -2, -1, -2) = 8/25 * | 16 -8 -4 -8 |
          | 0 |                                  |  0  0  0  0 |
                                           

Aufgabe 4 (Programmierung: Median Cut)

a)

MedianCut::MedianCut(std::vector<Point2d>& pc):m_pointcloud(pc)

Oder:

MedianCut::MedianCut(std::vector<Point2d>& pc){
  m_pointcloud = pc;
}

b)

void MedianCut::ComputeBoundingBox(const std::vector<Point2d>& pc, Point2d& min, Point2d& max) {
  min = new Point2d(pc[0]);
  max = new Point2d(pc[0]);
  
  for(auto &a : pc){
    if(a.x < min.x)
     min.x = a.x;
    if(a.y < min.y)
      min.y = a.y;
    if(a.x > max.x)
      max.x = a.x;
    if(a.y > max.y)
      max.y = a.y;
  }
}

c)

Point2d MedianCut::GetRepresentative(const std::vector<Point2d>& pointcloud) {
  Points2d result;
  for(auto &a : pointcloud){
    result += a;
  }
  
  result /= pointcloud.size();
  return result;
}

d)

std::vector<Point2d> MedianCut::ComputeMedianCut(int nCuts) {
  std::vector<Point2d> result;
  MedianCutRecursion(m_cloudpoint, 0, nCuts, result);
  return result;
}

e)

void MedianCut::MedianCutRecursion(std::vector<Point2d> subpointcloud, int cCuts, int nCuts, std::vector<Point2d>& result) {
  if (subpointcloud.empty()) return;
  std::vector<Point2d> sc = subpointcloud;
  
  if(sc.size() == 1 || cCuts >= nCuts) {
    result.push_back(GetRepresentative(sc));
    return;
  }
  
  Point2d min, max;
  ComputeBoundingBox(sc, min, max);
  
  if(max.x - min.x >= max.y - min.y)
    SortPointCloudAlongXAxis(sc);
  else
    SortPointCloudAlongYAxis(sc);

  std::size_t const half = sc.size() / 2;
  std::vector<Color> left(sc.begin(), sc.begin() + half);
  std::vector<Color> right(sc.begin() + half, sc.end());

  MedianCutRecursion(left, cCuts+1, nCuts, result);
  MedianCutRecursion(right, cCuts+1, nCuts, result);
}

Aufgabe 5 (Iterative Loesungsverfahren)

a)
x_0 = (4 - (1 + 1)) / 2 = 1
x_1 = (2 - (1 + 1)) / 2 = 0
x_2 = (2 - (-1 - 1)) / 1 = 4
x_3 = (4 - (2 - 2)) / 2 = 2

b)
x_0 = (1 - 3/2) * 1 + (4 - (1 + 1)) / 2 = 1
x_1 = 1/2 + 3/2 * (2 - (1 + 1)) / 2 = 0.5
x_2 = -1/2 + 3/2 * (2 - (1/2 - 1)) / 1 = 3.25
x_3 = 1/2 + 3/2 * (4 - (2 + 1/2)) / 2 = 1.25

c)

  • Doppelte Gitterweite ⇒ 4-fache Anzahl Iterationen
  • Doppelte Fehlertoleranz ⇒ linear mehr Iterationen
 154 |  207 |  260
 620 |  830 | 1040
2480 | 3320 | 4160

d)

  • Gauss-Seidel benoetigt halb so viele Iterationen wie Jacobi
  77 |  103 |  130
 310 |  415 |  520
1240 | 1660 | 2080

e)

  • SOR benoetigt Wurzel-n-mal so viele Iterationen wie Jacobi
13 | 18 | 23
25 | 35 | 45
50 | 70 | 90

Aufgabe 6 (Konjugierte Richtungen, nichtlineare Optimierung)

a)

Definition: zwei Vektoren u und v heißen A-konjugiert, wenn u^T * A * v = 0.

Sei lambda eine reelle Zahl und sei r_1 = lambda * (1, 0, 0)^T
r_1^T * A = (2, 1, 0) und (2, 1, 0) * (x, y, z)^T = 0 ⇒ r_2 = lambda * (1, -2, 0)^T
r_1^T * A = (2, 1, 0) und r_2^T * A = (0, -3, -2),
also (2, 1, 0) * (x, y, z)^T = 0 und (0, -3, -2) * (x, y, z)^T = 0 ⇒ r_3 = lambda * (1/3, -2/3, 1)^T

b) Gradienten-Verfahren:

       | 2x - 2y - 4  |
grad = | 2y^3 - 2x + 3 |

grad(3, 1) = (0, -1)^T

x_1 = x_0 + t*(-grad(3, 1)) = (3, 5/4)^T (wobei x_0 hier (x0,y0))

c) Newton-Verfahren:

    | 2      -2 |
H = | -2   6y^2 |
          | 2   -2 |
H(3, 1) = | -2   6 |

x_1 = x_0 - H(3, 1)^-1 * grad(3, 1) = 1/4 * (13, 5)^T

d)

  • max. Anzahl Iterationsschritte erreicht
  • gewuenschte Genauigkeit erreicht

Aufgabe 7 (Least Squares Approximation)

a)
Ansatz siehe Wikipedia
y = 3/5 * x + 2/5

b)

     |  4 |
x = | -2 |
     | -2 |
     

Aufgabe 8 (Programmierung: Polynominterpolation)

a)

// Wir bauen eine Vandermondematrix.

uint32 c = controlPoints.size();
Matrix m = new Matrix(c,c);
for(int i = 0; i<c; i++){
  uint32 x = controlPoints[i].x;
  for(int k = 0; k<c; i++){
    m(i,k) = mul;
    mul*=mul;
  }
}
return m;

b)

// pensi, preisi ist doch alles das selbe...
uint32 c = controlPoints.size();
Matrix b = new Matrix(c,1);
for(int i = 0; i<c; i++){
  b(i,0) = controlPoints[i].y;
}
return b;

c)

uint32 c = controlPoints.size();
std::vector<float> n;

// 4 -> Stammfunktion 4x^1, 4x -> 2x^2 also alter Wert/(i+1) wenn i bei 0 anfaengt

for(int i = 0; i<c; i++){
  n.pushBack(f/i+1);
}

//Monom Kurve die die Ableitung repraesentiert

MonomCurve tmp = new MonomCurve(n);
return tmp.evaluateAt(b) - tmp.evaluateAt(a);

Aufgabe 9 (Bezier-Kurven)

a)
C_W(1/4) = (0, 1, 31/8)^T
C_O(1/4) = (4, 1, 23/8)^T

b)
S(s, t) = 1/2 * C_W =+ 1/2 * C_O =
= 1/2 * (b_0 * B(0, 2) + b_1 * B(1, 2) + b_2 * B(2, 2)) + 1/2 * (d_0 * B(0, 2) + d_1 * B(1, 2) + d_2 * B(2, 2)) =
= 1/2 * [ (b_0 + d_0) * B(0, 2) + (b_1 + d_1) * B(1, 2) + (b_2 + d_2) * B(2, 2) ] =
= (2,0,3)^T * B(0, 2) + (2,2,4)^T * B(1, 2) + (2,4,3)^T * B(2, 2)

c)
M(1/4) = (2, 1, 27/8)^T (z. B. mithilfe De-Casteljau viel einfacher: in a) hat man bereits C_W(1/4) und C_O(1/4) berechnet. Zu jedem t interpoliert S linear zwischen den Kurven! D. h. für s=1/2: S(1/2, 1/4) = 1/2 C_W(1/4) + 1/2 C_O(1/4))

d)
d_0 = S(0, 0) = C_W(0) = (0, 0, 4)
d_3 = S(1, 1) = C_O(1) = (4, 4, 4)

Aufgabe 10 (Multivariate Interpolation)

10.1 a)
Reihenfolge: links oben, rechts oben, links unten, rechts unten.

  • (rho > 0 and sigma > 0 and tau > 0) and (rho + sigma + tau = 1)
  • [(rho = 0 and 0 ≤ sigma, tau ≤ 1) or (sigma = 0 and 0 ≤ rho, tau ≤ 1) or (tau = 0 and 0 ≤ rho, sigma ≤ 1)] and (rho + sigma + tau = 1)
  • rho = sigma
  • not (rho > 0 and sigma > 0 and tau > 0)

Beim zweiten hätte man auch jeweils eine der ≤ 1 Bedingungen weglassen können, denn diese folgen sowieso durch die Bedingung (rho + sigma + tau = 1).

10.1 b)

  • Q_0: (rho, sigma, tau) = (1/12, 1/4, 2/3)
  • Q_1: (rho, sigma, tau) = (1, 1, -1)

10.1 c)

  • a : b = beta : alpha
  • c : d = (1 - alpha) : alpha
  • e : f = gamma : alpha

10.2

  • P: in x-Richtung:
    • |P[00]P[10]| = |P[01]P[11]| = 6, |P[00]P| = |P[01]P| = 2, |P[11]P| = |P[10]P| = 4
    • f[x0] = 2/3 * 0 + 1/3 * 6 = 2, f[x1] = 2/3 * 6 + 1/3 * 2 = 14/3
    • in y-Richtung:
    • |P[x0]P[x1]| = 4, |P[x0]P| = 3, |P[x1]P| = 1
    • f = 3/4 * f[x1] + 1/4 * f[x0] = 4
  • M: 1/4 * 0 + 1/4 * 6 + 1/4 * 2 + 1/4 * 6 = 3,5