**Lösungsvorschlag** zur [[pruefungen/nebenfach/mathematik/linkomopt2019-02|WS 2018/2019-Prüfung LKOpt (10 ECTS)]]

==== 1) Flüsse ====
**a)** Zwei Augmentierungen nötig, z.B. s,1,3,t und s,2,4,t. Maximaler Flusswert 5, minimaler Schnitt W = {s,1,2,4}.

**b)** Eine Augmentierung nötig, mit negativem Kreis s,1,3,4,2,s.

==== 2) Modellierung ====
**a)** x_1 ... x_4: Anteil in Tonnen der Grundstoffe G_1 ... G_4

{{:pruefungen:nebenfach:mathematik:lkopt_2019_2primal.png?nolink|}}

(Die zweite Bedingung kann natürlich auch mit ≤ geschrieben werden, aber so ist es einfacher für die Dualisierung)

**b)** 

{{:pruefungen:nebenfach:mathematik:lkopt_2019_2dual.png?nolink|}}

**c)** Anscheinend war es nötig, hier eine Lösung ohne Simplex zu finden - in diesem Fall wäre das x*=(0,2.5,0,0). Die Aufgabe in der Prüfung war ähnlich, man musste einen einzelnen der Grundstoffe für die "Mischung" verwenden. Dann kann man mit dem Satz des komplementären Schlupfs argumentieren: x*_2 > 0, also muss duale Ungleichung 2 exakt erfüllt werden. Ungleichungen 1, 3 und 4 sind strikt erfüllt, also sind y*_1, y*_3 und y*_4 = 0. Nun können wir also mit der 2. dualen Ungleichung (-100 y_2 = 200) die duale Lösung bestimmen: y* = (0,-2,0,0). Diese erfüllt alle dualen Ungleichungen, ist damit zulässig und laut dem Satz optimal.

==== 3) Simplex ====
**a)**

{{:pruefungen:nebenfach:mathematik:lkopt_2019_3zeichnung.png?nolink|}}

**b)** 1. Iteration:
  * BTRAN: y = (0, -1)^T
  * Pricing: z_N = (-1, 1)^T, x_2 betritt Basis
  * FTRAN: w = (2, 3)^T
  * Ratio-Test: γ = 1, x_3 verlässt Basis
  * Update: x = (1,1,0,0)^T
2. Iteration:
  * BTRAN: y = (-1/3, -1/3)^T
  * Pricing: z_N = (1/3, 1/3)^T, Simplex terminiert

**c)** 1. Iteration:
  * BTRAN: x_B = (3/2, -3/2)^T
  * Pricing: x_4 verlässt Basis
  * FTRAN: w = (-1/2, 1)^T, α_N = (3/2, 1/2)
  * Ratio-Test: γ = 1/3, x_2 betritt Basis
  * Update: z = (0,0,1/3,1/3)^T
2. Iteration:
  * BTRAN: x_B = (1/3, 1/3)^T
  * Pricing: Simplex terminiert

==== 4) Graphen ====
**a)** 

{{:pruefungen:nebenfach:mathematik:lkopt_2019_4kantengraph.png?nolink|}}

**b)** Da der Graph einfach ist, kann es keine Schlingen oder parallele Kanten geben. Also sind die einzigen Kanten, die mit v und w inzident sind, e selbst und alle Kanten, die mit e einen Endknoten gemeinsam haben. Wir können die Anzahl der Kanten, die einen gemeinsamen Endknoten haben, über deg_G(v) + deg_G(w) erhalten. Dies zählt aber e selbst mit, weshalb 2 abgezogen wird.

**c)** Ein Graph ist eulersch genau dann wenn alle Knotengrade gerade sind. Da die Aussage aus b) für alle Knoten in K(G) gilt und deg_G(v) sowie deg_G(w) gerade sind, sind auch alle Knotengerade in K(G) gerade. Daher ist also K(G) auch eulersch.

**d)** Alle deg_G(v) können einen ungeraden Grad haben - dann ist G nicht eulersch, aber K(G) schon. Ein Gegenbeispiel ist beispielsweise K_4.

==== 5) Verständnis ====
**a)** 

|**s**|**1**|**2**|**t**|
|__0__|∞|∞|∞|
| |__2__|5|∞|
| | |__3__|5|
| | | |__4__|
|Endergebnis||||
|0|2|3|4|
|Vorgänger||||
|-|s|1|2|

**b)** Entspricht Übungsaufgabe 4 von Blatt 8 1-zu-1: Für das Kürzeste-Wege-Problem setzen wir alle Kantenkapazitäten auf 0, den Bedarf an s auf 1 und an t auf -1, alle anderen 0. Für das Maximalflussproblem bilden wir das Problem auf eine Zirkulation ab: alle Bedarfe sind 0 und eine Kante von t zu s wird eingeführt. Nun müssen nur noch die Kosten aller Kanten auf -1 gesetzt werden.

**c)** fancyB = {{2,3,4},{1,3,4},{1,2,4},{1,2,3}}, fancyC = <nowiki>{{1,2,3,4}}</nowiki>, fancyB* = {{1},{2},{3},{4}}, fancyC* = {{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}}

**d)** falsch/wahr/falsch/wahr