===== Forendiskussionen =====

  * [[https://fsi.informatik.uni-erlangen.de/forum/thread/9408-Klausur-Februar-2012]] Gesamte Klausur

===== Lösungsversuch =====

==== Aufgabe 1 - Komplexität ====
**a)** O(n)

**b)** O(n²)

**c)** O(n³)

**d)** O(n²)

**e)** O(n)

**f)** O(n)

**g)** O(n²)

**h)** O(n)

==== Aufgabe 2 - Speicherung dünn besetzter Matrizen ====

**a)**

val = 3, 1, 5, 6, -2, -1 \\
col_idx = 1, 3, 1, 3, 1, 2 \\
row_ptr = 0, 0, 2, 2, 4, 6

**b)**

m entspricht der Anzahl der Einträge im row_ptr - 1 \\
n entspricht mindestens des größten Werts im col_ind + 1

**c)**

<code>
|0  0  0  0  0|
|0  4  0 -2  0|
|0  0  3  8  0|
|0  0  7  0  4|
</code>

==== Aufgabe 3 - Numerische Integration ====

**a)**

12 \\
1. Trapez: (1,0), (1,5), (3,0), (3,1) \\
2. Trapez: (3,0), (3,1), (5,0), (5,5)

**b)**

10 \\
1. Trapez: (1,0), (1,5), (2,0), (2,2) \\
2. Trapez: (2,0), (2,2), (3,0), (3,1) \\
3. Trapez: (3,0), (3,1), (4,0), (4,2) \\
4. Trapez: (4,0), (4,2), (5,0), (5,5) \\

**c)**

28/3

**d)**

28/3

==== Aufgabe 4 - Least-Square Approximation ====

**a)**

Für Q: \\
w_00 = 1/2 \\
w_10 = 1/6 \\
w_11 = 1/12 \\
w_01 = 1/4 \\

Für M: \\
w_00 = 1/4 \\
w_10 = 1/4 \\
w_11 = 1/4 \\
w_01 = 1/4 \\

**b)**

w_N = 1/2 \\
w_S = 1/2 \\
w_W = 1/2 \\
w_O = 1/2 \\
w_NO = -1/4 \\
w_NW = -1/4 \\
w_SO = -1/4 \\
w_SW = -1/4 \\

==== Aufgabe 5 - Singulärwertzerlegung ====

**a)**

Singulärwerte: 1, 1/2, 1/3 \\
Rang: r = 3 \\
Bild: span{(0, -1, 0)^T, (-1, 0, 0)^T, (0, 0, 1)^T} \\
Kern: span{(-1/2, 1/2, -1/2, 1/2)^T} \\
Konditionszahl: 1/(1/3) = 3

**b)**

U^T * (1, 0, -2)^T = (0, -1, -2)^T \\
S^~1 * (0, -1, -2)^T = (0, -2, -6, 0)^T \\
V * (0, -2, -6, 0)^T = (2, -4, -4, 2)^T

**c)**

<code>
|   0     0    0    0|
|-1/2  -1/2  1/2  1/2|
|   0     0    0    0|
</code>

==== Aufgabe 6 - Programmierung: LU-Zerlegung ====

**a)**

<code cpp>
void Solver::decomposeLU(const Matrix& m, Matrix& l, Matrix& u) { 
	int d = m.getWidth();
	u = m;
	l.setIdentity();
	
	for(int c = 0; c < d; c++) {
		for(int r = c + 1; r < d; r++) {
			float factor = u(r,c) / u(c,c);
			
			for(int c2 = c; c < d; c++) {
				u(r, c2) = u(r, c2) - u(c, c2) * factor;
			}
			
			l(r,c) = factor;
		}
	}
}
</code>

**b)**

<code cpp>
void Solver::solveSystem(const Matrix& m, const Matrix& b, Matrix& x) {
	int d = m.getHeight();
	Matrix u(d, d);
	Matrix l(d, d);
	Matrix y(d, 1);
	decomposeLU(m, l, u);
	forwardSubstitution(l, b, y);
	backwardSubstitution(u, y, x);
}
</code>

**c)**

<code cpp>
float Solver::calcDeterminant(const Matrix& m) {
	int d = m.getHeight();
	Matrix u(d, d);
	Matrix l(d, d);
	decomposeLU(m, l, u);
	
	float res = 1.0f;
	for(int i = 0; i < d; i++) {
		res *= u(i,i);
	}

	return res;	
}
</code>


==== Aufgabe 7 - Programmierung: Bildbearbeitung ====

**a)**

<code cpp>
void computeDerivativeXX(const Image& image, Image& result) {
	int d = image.getDimension();
	
	for(int r = 0; r < d; r++) {
		for(int c = 0; c < d; c++) {
			if(c < 2 || c >= d - 2)
				result(r,c) = 0.0f;
			else
				result = -2 * image(r,c) + image(r,c-2) + image(r, c+2);
		}
	}
}
</code>

**b)**

<code cpp>
void computeLaplacian(const Image& image, Image& result) {
	int d = image.getDimensions();
	
	Image dX(d);
	Image dY(d);
	
	computeDerivativeXX(image, dX);
	computeDerivativeYY(image, dY);
	
	for(int r = 0; r < d; r++) {
		for(int c = 0; c < d; c++) {
			result(r, c) = dX(r,c) + dY(r, c);
		}
	}
}
</code>

**c)**

...

==== Aufgabe 8 - Nichtlineare Optimierung ====

**a)**

s_0 = (0, -2)^T \\
t_0 = 1/2 \\
x_1 = (1, 0)^T

s_1 = (-2, 0)^T \\
t_1 = 1/4 \\
x_2 = (1/2, 0)^T

**b)**

s_x = 0, s_y beliebig \\
z.B.: (0, 1)^T

**c)**

Konvergenzordung: \\
Die Konvergenzordnung beschreibt, um welchen Grad die Genauigkeit einer Approximation pro Iterationsschirtt zunimmt.

Lineare Kovergenz: \\
<code>
Für alle c < 1 gilt:
|x_i+1 - x*| <= c * |x_i - x*|
</code>

Quadratische Kovergenz: \\
Potenzordnung p mit der der Fehler kleiner wird:
<code>
Für alle c < 1 gilt:
|x_i+1 - x*| <= c * |x_i - x*|²
</code>

==== Aufgabe 9 - Interpolation ====

**a)**

<code>
       { -x + 1    für  1 <= x < 3
L(x) = { 2x - 8    für  3 <= x < 5
       { -2x + 12  für  5 <= x < 7
</code>

**b)**

Interpolation: Graph verläuft exakt durch die Werte der Stützpunkte. \\
Approximation: Graph nähert sich den Werten der Stützpunkte an, verläuft aber nicht zwingend durch sie.

**c)**

Grad des Polynoms: 5 \\
Damit: 6 Datenpunkte nötig

**d)**

c_0 = 0 \\
c_1 = 2/π \\
c_2 = -8/3π² \\
c_3 = 16/6π³ \\

p(x) = 2/π * x - 8/3π² * x (x - π/2) + 16/6π³ * x (x - π/2)(x - 3π/2)

==== Aufgabe 10 - Bézier-Kurven ====

**a)**

(55/2, 44)^T

**b)**

...

**c)**

...

**d)**

  * Bézier-Kurven liegt in der konvexen Hülle
  * Variationsreduzierend
  * In den Endpunkten tangential an das Kontroll-Polygon
  * Geht durch die Endpunkte des Kontroll-Polygons