===== Forendiskussionen =====

  * [[https://fsi.informatik.uni-erlangen.de/forum/thread/8047-Loesungsversuch-15-Februar-2011]] Gesamte Klausur

===== Lösungsversuch =====

==== Aufgabe 1 - Komplexität ====
**a)** O(n)

**b)** O(n²)

**c)** O(n)

**d)** O(n)

**e)** O(n²)

**f)** O(n²)

**g)** O(n³)

**h)** O(n²)

==== Aufgabe 2 - Interpolation ====

**a)**

<code>
l(x) =	{ 0            für 0 <= x < 1
        { 12x - 12     für 1 <= x < 2
        { 60x - 108    für 2 <= x < 3
</code>

**b)**

Koeffizienten \\
c0 = 0, c1 = 0, c2 = 6, c3 = 6

Polynom: \\
a(x) = 6x³ - 12x² + 6x

**c)**

<code>
|1  0  0  0 |
|1  1  0  0 |
|1  2  2  0 |
|1  3  6  6 |
</code>

**d)**

Die Systemmatrix A ist eine untere Dreiecksmatrix und lässt sich einfach durch Vorwärtseinsetzen lösen.

==== Aufgabe 3 - LU-Zerlegung ====

**a)**

<code>
    |1 0 0 0|
L = |2 1 0 0|
    |0 3 1 0|
    |0 0 2 1|
	
    |2 1 4 1|
U = |0 1 1 1|
    |0 0 2 1|
    |0 0 0 3|
</code>

**b)**

x = (-3, 1, 4)^T

==== Aufgabe 4 - Eigenschaften von Bézier-Kurven ====

**a)**

  * Affine Invarianz
  * Bézier-Kurven liegt in der konvexen Hülle
  * Variationsreduzierend
  * In den Endpunkten tangential an das Kontroll-Polygon

**b)**
...

**c)**
...

==== Aufgabe 5 - Baryzentrische Koordinaten ====

**a)**

Fläche im spitzen Winkel bei T

**b)**

Halbgerade RS links von R (exklusiv)

**c)**

Punkt T

**d)**

P0: Auf 2/3 der Strecke von R nach S \\
P1: Relativ mittig im Dreieck, leicht in Richtung T bzw. der Strecke TS versetzt \\
P2: Existiert nicht (Summe ergibt 0 statt 1)

**e)**

ρ = -2 \\
σ = 1 \\
τ = 2 

==== Aufgabe 6 - Singulärwertzerlegung ====

**a)**

Singulärwerte: 3/2, 3/4, 1/2 \\
Rang: r = 3 \\
Bild: span{(-1/3 -2/3 -2/3)^T, (-2/3 2/3 -1/3)^T, (-2/3 -1/3 2/3)^T} \\
Kern: span{(1/2 -1/2 -1/2 1/2)^T} \\
Konditionszahl: 6/4 * 4/2 = 3

**b)**

(-14 -4 4 14)^T

**c)**

<code>
        |1  1  1  1|
-1/4 x  |2  2  2  2|
        |2  2  2  2|
</code>

==== Aufgabe 7 - Programmierung ====

**a)**

<code cpp>
BezierCurve::BezierCurve(const Point* CPs, int numCPs) {
	this-numCPs = numCPs;
	this->CPs = new Point[numCPs];
	
	for(int i = 0; i < numCPs; i++) {
		this->CPs[i] = CPs[i];
	}
}

BezierCurve::~BezierCurve() {
	delete[] CPs;
}
</code>

**b)**

<code cpp>
void BezierCurve::removeControlPoint(int idx) {
	Points* newCPs = new Point[numCPs - 1];
	
	for(int i = 0; i < numCPs; i++) {
		if(i < idx)
			newCPs[i] = CPs[i];
		
		if(i > idx) {
			newCP[i - 1] = CPs[i];
	}
	
	delete[] CPs;
	CPs = newCPs;
	
	this-numCPs = numCPs - 1;
}
</code>

**c)**

<code cpp>
Point BezierCurve::desCastlejau(float t) const {
	Point tmpCPs[numCPs];
	
	for(int i = 0; i < numCPs; i++)
		tmpCPs[i] = CPs[i];
	
	for(int c = 1; c < numCPs; c++) {
		for(int r = 0; r < numCPs, numCPs - c; r++) {
			tmpCPs[r] = (1-t) * tmpCPs[r] + t * tmpCPs[r + 1];
		}
	}
	
	return tmpCPs[0];
}
</code>

**d)**

<code cpp>
void BezierCurve::degreeElevation() {
	Point* newCPs = new Point[numCPs + 1];
	newArr[0] = CPs[0];
	newArr[numCPs] = CPs[numCPs - 1];
	
	for(int i = 1; i < numCPs; i++) {
		float t = i / (numCPs + 1);
		float z = (numCPs + 1 - i) / (numCPs + 1);
		newArr[i] = t * CPs[i - 1] + z * CPs[i];
	}
	
	delete[] CPs;
	CPs = newArr;
	numCPs++;
}
</code>

**e)**

<code cpp>
void BezierCurve::reflectCurve(const Point& p) {
	for(int i = 0; i < numCPs; i++)
		CPs[i] = 2 * p - CPs[i];
}
</code>


**c)**

==== Aufgabe 8 - Numerische Integration ====

**a)** 20

**b)** 17

**c)** 16

**d)** 16

**e)** 16

**f)** O(h²)

**g)** O(h^4)

==== Aufgabe 9 - Matrix-Norm und Kondition ====

**a)**

Das Problem ist für Funktion g(x) besser konditioniert, da die Tangente bei x = 1 eine geringere Steigung aufweist: \\
K(f) = π \\
K(g) = 1/π \\
g hat die kleinere Konditionszahl.

**b)**

7, 5, 19, 24, 6, 6

**c)**

mit 1-Norm: \\
K(A_1) = 49/25 \\
K(A_3) = 24

**d)**

Die Geraden von SP_1 stehen fast senkrecht aufeinander. \\
Die Geraden von SP_2 verlaufen relativ parallel. \\
Damit ist SP_1 besser konditioniert.

==== Aufgabe 10 - Nullstellensuche ====

**a)**

...

**b)**

x_2 = 1/2 \\
x_3 = -7

**c)**

(-4, 3)^T