====== A1 ======


**a)** siehe Komplexitaetenliste/Skript

**b)**

alter loesungsvorschlag:  4.5, 5.5, 6.5, 7.5

neuer loesungsvorschlag:
gesucht sind FP mit B = 2 und t = 3 innerhalb [1,8].

FP = M * B^E      mit M = [B^(t-1), B^(t)[
hier ist also
M = [2^2, 2^3[ = [4,8[ = {4,5,6,7}

       E     1   0   -1     -2 
       M   
       4     8   4    2      1
       5    >8   5    2.5    1.25
       6    >8   6    3      1.5
       7    >8   7    3.5    1.75

Fuer die restlichen Exponenten (E < -2 && E >1) sind die zugehoerigen
FP auszerhalb von [1,8].

noch neuerer Lösungsvorschlag ;)   :

laut Aufgabenstellung soll die Mantissenlänge t = 3 sein. Das ist für E = 1 nicht gewährleistet. Daher gehört die 8 nicht mehr zu der Lösung.


====== A3 ======


**a)**
L = {{1,0,0,0},{2,1,0,0},{0,-2,1,0},{0,0,-1,1}}
U = {{3,1,0,0},{0,-3,2,0},{0,0,3,-2},{0,0,0,2}}

**b)**
x = (4, 1, -3)^T

**c)**
Q = 1/5{{4,-3},{3,4}}
R = {{5,2},{0,1}}

====== A4 ======


**b)**
\\
p0(x) =   2 + (x - 0) * ( 1-2     / 1-0 ) = 2 - x \\
p1(x) =   1 + (x - 1) * ( -1-1    / 2-1 ) = 1 + (x-1)*(-2) = 1 + (-2x) - (-2) = 3 - 2x \\
p2(x) =  -1 + (x - 2) * (1-(-1)  / 4-2 ) = x - 3 \\
p(x) = (2-x) * (3-2x) * (x-3) \\ \\


[ l(x) = 2-x fuer x in [0,1], 1-2x fuer x in [1,2], x-3 fuer x in [2,4] ](Alt)

**c)**
Forenloesung erklaert es imo. ganz gut (aber wsh schwer auffindbar) \\
a0 = 0 \\
a1 = -1 \\
a2 = -0.5 \\
a3 = 5/8 \\

a(x) = -x - 0.5*x*(x-1) + 5/8 *x*(x-1)*(x-2) = (5/8)x^3 - (7/4)x^2 - (13/8)x + 3/4 \\

**d)**
m_1 = -1.5, m_2 = 0

====== A5 ======


**a)**
P0 = (0;3), P1 = (3:2), P2 = (2.5; 3.5)

**b)**
f_0 = f_1 = 4, f2 = 14/3

**c)**
(2, 2) = (1/2, 1/6, 1/3)

**d)**
- Gerade tau = 1 geht durch T und liegt parallel zur Gerade RS \\
- die Menge liegt über Gerade RT und links und rechts von der Gerade ST (links eingeschränkt durch Gerade tau = 1!)

**e)**
M: w00 = w01 = w10 = w11 = 1/4
Q: w00 = 2/5, w10 = 4/15, w01 = 1/5, w11 = 2/15
  
====== A6 ======
**a)**
I: Tangentengleichheit in den Endpunkten, variationsreduzierend \\
II: Endpunktinterpolation, Tangentengleichheit in Endpunkten \\
III: konvexe Hülle, variationsreduzierend \\

(-ohne Garantie-)

====== A7 ======


**d)**
  if(kp.size()==1)
    return kp;
  std::vector<vec3> n;
  for(int i = 0; i < kp.size() - 1; i++){
    vec3 tmp = (1.0-u)*kp[i] + u*kp[i+1];
    n.pushBack(tmp);
  }
  return deCasteljau(n,u)[0];
  
====== A7 ======


**a)**
Jacobi: x^1 = (1,1,0,2)

**b)**
GS: x^1 = (1,1,1,2.5)

**c)**
Ja, starke Spaltendiagonaldominanz

**d)**
Ja, schwache Spaltendiagonaldominanz, mind. in 1 Spalte starke Diagonaldominanz

====== A8 ======


**a)**
I = 42

**b)**
I = 24+2/3

**c)**
ca. 72% bei Trapez und ca. 1% bei Simpson

**d)**
24+5/12 (was ungefaehr 24 + 4.8 / 12 ist, was gerade die exakte Loesung ist)

====== A9 ======
**b)**\\
  float xold = 0;
  do{
    xold=x0;
    x0 = (float)f(xold)/df(xold):
    maxIterations--;
  }while(maxIterations>=0 && epsilon > std::abs(x0-xold))
  return x0;

**c)** \\
  int count = 0;
  int[] erg = new int[maxIterations + 2];
  erg[0] = x0;
  erg[1] = x1;
  do{
    long zahler = erg[count]*f(erg[count+1]) + erg[count+1] * f(erg[count])
    long nenner = f(erg[count+1]) - f(erg[count])
    erg[count + 2] = (float)zahler/nenner;
  }while(count < maxIterations && std::abs(erg[count + 2] - erg[count)>epsilon))
  return count+2;